Comment résoudre une équation du premier degré

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Dans cet article:

Résoudre une équation avec une seule mention de l'inconnue

Résoudre une équation avec deux mentions de l'inconnue

Résoudre autrement une équation algébrique simple

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Une équation algébrique du premier degré à une seule variable peut se résoudre très facilement, en deux temps, ni plus ni moins. Pour cela, il faut, premier temps, en utilisant la somme ou la soustraction, isoler l'inconnue d'un côté de l'équation et les constantes de l'autre. Dans un second temps, vous trouverez l'inconnue en divisant ou en multipliant chacun des membres de l'équation.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Résoudre une équation avec une seule mention de l'inconnue

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   Posez clairement votre équation. Afin de résoudre en deux étapes une équation algébrique, il faut commencer par bien la présenter, ce qui vous permettra de voir comment il faut opérer. Prenons l'équation : $-4x+7=15$.
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   Sachez comment isoler l'inconnue. Par convention, l'inconnue se place à gauche de l'équation. Partant, cherchez l'opération, addition ou soustraction, qui vous permettra d'atteindre ce résultat. Dans l'exemple, $-4x$ est déjà à gauche, il ne reste donc plus qu'à transférer toutes les constantes (valeurs numériques) à droite. 18 reste en place, et pour faire passer 7 à droite, il faut soustraire 7 aux deux membres de l'équation. Ce faisant, vous allez annuler le 7 de gauche, tandis qu'à droite, vous ferez : 15 - 7.

   • Retenez bien cette règle fondamentale d'algèbre. Elle est la suivante : toute opération faite sur un des membres de l'équation doit être faite à l'identique sur l'autre. C'est à ce prix que l'équation reste inchangée. Comme vous avez ôté 7 à gauche, vous devez faire de même à droite : à gauche, il ne vous reste plus que $4x$ et une somme à droite.
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   Faites la somme des constantes. Dans le membre de gauche, le problème est réglé, puisque par le choix de la valeur ajoutée, la constante a disparu. Dans le membre de droite, la somme est en fait ici une soustraction : 15 -7. Tous calculs faits, vous arrivez à l'équation : $-4x=8$. Sur votre copie, vous aurez inscrit le déroulement suivant :

   • $-4x+7-7=15-7$
   • $-4x=8$
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   Faites disparaitre le coefficient de l'inconnue. Utilisez pour cela la division ou la multiplication. Le coefficient est cette valeur numérique qui se trouve accolée à l'inconnue. Ici, le coefficient est -4 ($-4x$). Pour faire disparaitre le -4 de -4x, vous devez diviser les deux membres de l'équation par -4. En effet, $-4x$ est un produit, vous devez donc le diviser par -4 pour isoler $x$, mais cette opération doit aussi être faite dans le membre de droite.

   • Pour rappel, toute opération faite sur un des membres de l'équation doit être faite à l'identique sur l'autre. En clair, vous divisez ici des deux côtés par -4.
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   Trouvez $$ x {\displaystyle x} . Si vous divisez le membre de gauche de l'équation ($-4x$) par -4, vous isolez $x$. En divisant aussi le membre de droite (8) par -4, vous obtenez -2. Le tout rassemblé vous donne : $x=-2$. En deux opérations, une soustraction et une division, vous avez résolu l'équation.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Résoudre une équation avec deux mentions de l'inconnue

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   Posez clairement votre équation. Prenons comme exemple l'équation :
   $-2x-3=4x-15$. Il n'y a dans cette équation qu'une seule inconnue ($x$), mais deux expressions la contenant ($-2x$ et $4x$). Le but va être de les regrouper pour retomber sur le cas précédent.
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   Groupez les constantes à droite de l'équation. Vous devez trouver la valeur qui va annuler la constante de gauche, en fait son opposée. La constante est ici -3, pour la faire disparaitre, il suffit d'ajouter 3 à gauche, comme à droite.

   • À gauche, vous vous retrouvez avec : $(-2x-3)+3$, ce qui vous permet d'isoler l'inconnue, car le membre de gauche se résume à : $-2x$.
   • À droite, vous avez aussi ajouté 3, ce qui vous donne la somme suivante :
     $(4x-15)+3$. Faites la somme de tête et le membre de droite se résume à : $4x-12$.
   • Il est temps de résumer. Vous avez posé :
     $(-2x-3)+3=(4x-15)+3$ , soit $-2x=4x-12$.
   • Dans cette phase d'annulation, faites attention au signe de ce qui est ajouté.
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   Groupez l'inconnue à gauche de l'équation. Dans l'exemple, il s'agit de faire passer $4x$ à gauche, et pour cela, vous ajouterez de chaque côté, $-4x$. C'est ainsi qu'à gauche, vous aurez $(-2x)-4x$, soit $-6x$, et à droite, $(4x-12)-4x$, soit -12. L'équation se présente alors ainsi : $-6x=-12$. Sur votre cahier, vous aurez inscrit les étapes ainsi :

   • $(-2x)-4x=(4x-12)-4x$, soit $-6x=-12$
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   Trouvez $$ x {\displaystyle x} . Vous êtes retombé sur le cas simple vu dans la première méthode. L'étape suivante consiste donc à n'avoir que $x$ à gauche. Ici, il va falloir diviser des deux côtés par -6. Pour le membre de gauche, vous aurez :
   ${\frac {-6x}{-6}}=x$, et pour le membre de droit, ${\frac {-12}{-6}}=2$. La solution est donc : $x=2$. Sur votre copie, vous aurez inscrit les choses ainsi :

   • $-{\frac {-6x}{-6}}={\frac {-12}{-6}}$
   • $x=2$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Résoudre autrement une équation algébrique simple

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   Gardez l'inconnue à droite. Peu importe que l'inconnue soit à droite ou à gauche, le raisonnement est le même. L'inconnue doit être isolée et les constantes regroupées. Prenons comme exemple l'équation : $11=3-7x$. Le regroupement des constantes (à gauche) se fait ici en soustrayant 3 des deux côtés. Cela fait, divisez des deux côtés par -7 et vous aurez non seulement isolé $x$, mais résolu l'équation. Concrètement, cela donne :

   • $11=3-7x$
   • $(11)-3=(3-7x)-3$
   • $8=-7x$
   • ${\frac {8}{-7}}={\frac {-7x}{-7}}$
   • $x=-{\frac {8}{7}}$ ou $x\approx -1,14$
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   Résolvez une équation avec un coefficient fractionnaire. En ce cas, l'inconnue sera isolée, non pas en divisant le coefficient par lui-même, mais en le multipliant par le dénominateur de ladite fraction. Cela étant dit, le principe de résolution reste invariable : l'inconnue doit être isolée et les constantes regroupées. Prenons comme exemple, l'équation : ${\frac {x}{5}}+7=-3$. Pour regrouper les constantes (à droite), vous soustrairez 7 des deux côtés et pour obtenir $x$, vous multiplierez par 5 (le dénominateur) de chaque côté. Voici le détail des deux opérations :

   • ${\frac {x}{5}}+7=-3$
   • $({\frac {x}{5}}+7)-7=(-3)-7$
   • ${\frac {x}{5}}=-10$
   • $({\frac {x}{5}})\times 5=(-10)\times 5$
   • $x=-50$
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Conseils

• Le produit (ou la division) de deux valeurs de signe opposé (+ et -) donne toujours un résultat négatif. Par contre, si vous avez les deux mêmes signes, le résultat est toujours positif.
• Lisez toujours bien l'énoncé de l'exercice.
• Une inconnue sans coefficient, comme $x$, est supposée avoir un coefficient de 1
  ($x=1x$).
• Il peut arriver qu’il n’y ait pas de constante dans un membre de l'équation. S'il n'y avait pas de constante après un $x$, vous penseriez $x+0$.

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