Drehmoment berechnen

Wenn du an einem Objekt ziehst oder es schiebst, übst du darauf eine Kraft aus und das Objekt bewegt sich. Die Länge der bewegten Stecke hängt dabei von der Masse des Objekts und der aufgewendeten Kraft ab. Wenn das Objekt aber an einem Punkt, dem sogenannten Drehpunkt oder der Drehachse, befestigt ist und du eine Kraft auf das Objekt in einem bestimmten Abstand zum Befestigungspunkt ausübst, wird sich das Objekt um diese Achse drehen. Die Drehung wird dabei durch das Drehmoment (τ) charakterisiert und in Newtonmetern (N∙m) gemessen. Am einfachsten lässt sich das Drehmoment dadurch bestimmen, indem man die aufgewendete Kraft in Newton mit dem Abstand des Angriffspunkts zur Drehachse in Metern multipliziert. Für dreidimensionale Objekte kann diese Formel auch durch die Größen der Drehbewegung, das Trägheitsmoment und die Winkelbeschleunigung, ausgedrückt werden. Das Drehmoment ist ein physikalisches Konzept, das zur Berechnung ein Verständnis von Algebra, Geometrie und Trigonometrie voraussetzt.^{[1]XForschungsquelle}

Methode 1

Methode 1 von 3:

Bestimme das Drehmoment für senkrechte Kräfte

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Bestimme die Länge des Hebelarms. Der Abstand der Drehachse oder des Drehpunkts zu dem Punkt, an dem die Kraft aufgewendet wird, wird als Hebelarm bezeichnet. Üblicherweise wird dieser Abstand in Metern (m) angegeben.^{[2]XForschungsquelle}
- Da das Drehmoment bei einer Rotationsbewegung einer Kraft entspricht, entspricht dieser Abstand einem Radius. Deshalb wird er in Gleichungen für das Drehmoment häufig auch durch ein "r" dargestellt.
2
Berechne die Kraft, die senkrecht zum Hebelarm wirkt. Eine Kraft senkrecht zum Hebelarm erzeugt das größte Drehmoment. Deshalb wird bei einfachen Berechnungen des Drehmoments angenommen, dass die Kraft senkrecht auf den Hebelarm wirkt.^{[3]XForschungsquelle}
- Zur Berechnung des Drehmoments wird der Betrag der Kraft normalerweise angegeben. Allerdings kannst du sie auch selbst berechnen, wenn du die Masse des Objektes und seine Beschleunigung in m/s² kennst. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ergibt sich die Kraft nämlich als das Produkt von Masse und Beschleunigung ( $F=m\times a$ ).
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Multipliziere die Kraft mit dem Abstand, um das Drehmoment zu berechnen. Grundsätzlich wird das Drehmoment nach $\tau =F\times r$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \tau =F\times r}$ berechnet und durch den griechischen Buchstaben τ dargestellt und ergibt sich als das Produkt der Kraft (F) und des Abstands (bzw. Radius r). Wenn der Kraftbetrag (in Newton) und der Abstand (in Metern) bekannt ist, kannst du das Drehmoment in Newtonmetern (N∙m) berechnen.^{[4]XForschungsquelle}
- Nimm beispielsweise eine Kraft von 20 Newton an, die senkrecht auf ein Objekt in einem Abstand von 10 Metern von der Drehachse wirkt. Das wirkende Drehmoment entspricht in diesem Fall 200 N∙m: $\tau =20\times 10=200$ .
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Gib die Richtung der Kraft durch positives oder negatives Drehmoment an. Nun kannst du den Betrag des Drehmoments zwar bestimmen, aber noch nicht das Vorzeichen. Dieses hängt nämlich von der Drehrichtung ab. Wenn das Objekt gegen den Uhrzeigersinn rotiert, ist das Drehmoment positiv. Rotiert es im Uhrzeigersinn, dann hat das Drehmoment ein negatives Vorzeichen.^{[5]XForschungsquelle}
- Wenn das Objekt sich zum Beispiel im Uhrzeigersinn bewegt und der Betrag des Drehmoments 200 N∙m beträgt, wird das Drehmoment als -200 N∙m angegeben. Man muss das Vorzeichen nicht anzugeben, wenn das Drehmoment positiv ist.
- Der Betrag des Drehmoments wird nicht verändert. Ein negatives Vorzeichen bedeutet lediglich, dass sich das Objekt im Uhrzeigersinn dreht.
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Addiere die einzelnen Drehmomente um eine bestimmte Achse, um das Gesamtdrehmoment (Στ) zu erhalten. Es ist denkbar, dass mehrere Kräfte in unterschiedlichen Abständen zur Drehachse auf ein Objekt wirken. Wirken zwei Kräfte gegeneinander, dreht sich das Objekt in die Richtung, in die das höhere Drehmoment wirkt. Wenn das Gesamtdrehmoment null beträgt, befindet sich das System im Gleichgewicht. Ist nur das Gesamtdrehmoment ohne weitere Variablen, wie beispielsweise die Kraft, angegeben, kannst du die fehlende Variable über grundlegende algebraische Methoden erhalten.^{[6]XForschungsquelle}
- Nimm beispielsweise an, dass das Gesamtdrehmoment null ist. Der Betrag des Drehmoments auf der einen Seite der Achse beträgt 200 N∙m. Auf der anderen Seite der Achse wirkt eine Kraft in entgegengesetzte Richtung, in einem Abstand von 5 Metern. Da das Gesamtdrehmoment null ist, weißt du, dass auch die Summe beider Drehmomente 0 ergeben soll. Damit kannst du eine Gleichung aufstellen, um die Kraft zu bestimmen:
  $200+(F\times 5)=0$
  $F\times 5=-200$
  $F=-{\frac {200}{5}}$
  $F=-40$ .
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Bestimme das Drehmoment für Kräfte in einem bestimmten Winkel

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Beginne mit der Länge des radialen Vektors. Der radiale Vektor entspricht der Verbindungslinie zwischen Drehachse und dem rotierenden Objekt, das Objekt könnte dabei zum Beispiel eine Tür oder ein Uhrzeiger sein. Zur Berechnung vom Drehmoment muss der Abstand zwischen der Drehachse und dem Punkt gemessen werden, an dem eine Kraft aufgewendet wird, um den Vektor zu drehen.^{[7]XForschungsquelle}
- In den meisten Physikaufgaben wird dieser Abstand in Metern angegeben.
- In der Gleichung fürs Drehmoment wird dieser Abstand durch "r" für Radius oder radialer Vektor angegeben.
2
Bestimme den Betrag der aufgewendeten Kraft. In den meisten Aufgaben zur Drehmomentberechnung ist dieser Wert angegeben. Die Kraft wirkt in eine bestimmte Richtung und wird in Newton angegeben. Sie wirkt allerdings nicht senkrecht zum Vektor, sondern schließt mit ihm einen Winkel ein.^{[8]XForschungsquelle}
- Wenn der Betrag der Kraft nicht angegeben ist, musst du ihn über die Multiplikation von Masse und Beschleunigung berechnen. Deshalb sollten diese Werte angegeben sein. Es könnte auch sein, dass das Drehmoment gegeben ist und du daraus die Kraft bestimmen sollst.
- In Gleichungen für das Drehmoment wird Kraft durch "F" angegeben.
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Miß den Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem radialen Vektor. Es wird der Winkel gemessen, der vom Kraftvektor rechts eingeschlossen wird. Wenn der Winkel nicht angegeben ist, solltest du ihn mit einem Geodreieck messen. Wirkt die Kraft auf das Ende des radialen Vektors, solltest du ihn mit einer geraden Linie verlängern, um den Winkel messen zu können.^{[9]XForschungsquelle}
- In der Gleichung fürs Drehmoment wird der Winkel durch den griechischen Buchstaben Theta "θ" angegeben. Normalerweise bezieht man sich dabei auf "Winkel θ" oder "Winkel Theta".
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Berechne den Sinus des Winkels θ mit deinem Taschenrechner. Um das Drehmoment zu berechnen, musst du den Betrag des radialen Vektors und den Betrag der Kraft mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels multiplizieren. Gib den gemessenen Winkel in deinen Taschenrechner ein und drücke die "sin"-Taste, um den Sinus des Winkels zu erhalten.^{[10]XForschungsquelle}
- Wenn du den Sinus per Hand ausrechnen möchtest, musst du einen rechen Winkel einzeichnen und die Längen der Gegenkathete und der Hypotenuse bestimmen. Da aber die meisten Aufgaben zur Berechnung des Drehmoments keine genaue Messung verlangen, brauchst du dir darum keine Gedanken zu machen.
5
Multipliziere den Abstand, die Kraft und den Sinus, um das Drehmoment zu erhalten. Wenn die Kraft unter einem bestimmten Winkel wirkt, ergibt sich das Drehmoment durch die Formel $\tau =r\times F\times sin\theta$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \tau =r\times F\times sin\theta }$ . Das Ergebnis wird in Newtonmetern (N∙m) angegeben.^{[11]XForschungsquelle}
- Nimm zum Beispiel an, dass dein radialer Vektor 10 Meter lang ist und eine Kraft von 20 Newton unter einem Winkel von 70° zum radialen Vektor wirkt. Für das Drehmoment wirst du dann du einen Betrag von 188 N∙m erhalten: $\tau =10\times 20\times sin70^{\circ }=10\times 20\times 0,94=188$ .
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Bestimme das Drehmoment über das Trägheitsmoment und die Winkelbeschleunigung

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Bestimme das Trägheitsmoment. Das Drehmoment bei der Bewegung eines Objektes mit einer bestimmten Winkelbeschleunigung hängt von der Massenverteilung im Objekt, also seinem Trägheitsmoment ab. Dieses wird in kg∙m² angegeben. Ist das Trägheitsmoment nicht angegeben, kannst du es für gewöhnliche Objekte auch nachschlagen.^{[12]XForschungsquelle}
- Nimm an, dass du das Drehmoment einer Scheibe mit homogen verteilter Masse berechnen möchtest. Das Trägheitsmoment der Scheibe beträgt ${\frac {1}{2}}MR^{2}$ , wobei "M" die Masse der Scheibe und "R" ihren Radius darstellt. Wenn die Masse 5 kg und der Radius 2 Meter beträgt, berechnet sich das Trägheitsmoment zu 10 kg∙m²: ${\frac {1}{2}}(5\times 2^{2})={\frac {1}{2}}(5\times 4)={\frac {1}{2}}(20)=10$
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Berechne die Winkelbeschleunigung. Wenn du das Drehmoment bestimmen möchtest, wird die Winkelbeschleunigung meistens gegeben sein. Sie wird in Radiant/s² angegeben und beschreibt die Rate, mit der sich die Geschwindigkeit des Objekts während der Rotation ändert.^{[13]XForschungsquelle}
- Denk daran, dass die Winkelbeschleunigung 0 ist, wenn sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt und weder beschleunigt noch abgebremst wird.
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Multipliziere das Trägheitsmoment mit der Winkelbeschleunigung, um das Drehmoment zu erhalten. Die Formel zur Berechnung des Drehmoments aus dem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung lautet $\tau =\mathrm {I} \alpha$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \tau =\mathrm {I} \alpha }$ , wobei "τ" das Drehmoment, "I" das Trägheitsmoment und "α" die Winkelbeschleunigung darstellen. Wenn du das Drehmoment berechnen möchtest, musst du das Trägheitsmoment einfach mit der Winkelbeschleunigung multiplizieren. Genau wie bei anderen Gleichungen kannst du auch hier eine der Variablen durch gewöhnliche algebraische Methoden bestimmen, wenn du die Gleichung nach der Variable umstellst.^{[14]XForschungsquelle}
- Nimm beispielsweise an, dass das Trägheitsmoment eines Objekts 10 kg∙m² beträgt. Das Drehmoment ist 20 N∙m und daraus sollst du die Winkelbeschleunigung berechnen. Da $\tau =\mathrm {I} \alpha$ gilt, kannst du es nach $\alpha ={\frac {\tau }{\mathrm {I} }}$ umstellen. Wenn du die gegebenen Größen einsetzt, lässt sich die Winkelbeschleunigung zu 2 rad/s² berechnen: $\alpha ={\frac {20}{10}}=2$ .
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Tipps

Die Gleichung des Drehmoments ähnelt stark der Gleichung für Arbeit, da eine physikalische Kraft benötigt wird, um ein Objekt zu bewegen. Im Fall von Arbeit wirkt die Kraft jedoch parallel zur Bewegungsrichtung, während beim Drehmoment die Kraft senkrecht zum Abstandsvektor ist.^{[15]XForschungsquelle}

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Warnungen

Die Berechnung des Drehmoments setzt fortgeschrittene Kenntnisse in Algebra, Geometrie und Trigonometrie voraus. Wenn du dich in diesen Teilgebieten nicht sicher genug fühlst, solltest du deine Kenntnisse eventuell etwas auffrischen, bevor du dich an die Berechnung vom Drehmoment machst.

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