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Dieser Artikel wurde unter Mitarbeit von Grace Imson, MA erstellt. Grace Imson ist Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist zurzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Mittelschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Masterabschluss in Erziehungswissenschaft, spezialisiert auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.
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Die Oberfläche eines Körpers ist die Gesamtfläche aller Flächen eines Körpers.[1] Die Oberfläche eines dreidimensionalen Körpers zu bestimmen, ist relativ einfach, so lange du die richtige Formel kennst. Jede Form hat ihre eigene Formel, du musst also zuerst herausfinden, mit welcher Form du es zu tun hast. Wenn du dir die Oberflächenformel für verschiedene Körper einprägst, macht das viele Berechnungen in Zukunft einfacher. Hier sind ein paar der Formen, auf die du am häufigsten treffen wirst.
Vorgehensweise
Definiere die Formel für die Oberfläche eines Würfels. Ein Würfel besteht aus sechs identischen, quadratischen Seitenflächen. Da die Länge und die Breite eines Quadrats gleich sind, kann man den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Formel a2 bestimmen, wobei a die Länge der Seite ist. Da es in einem Würfel sechs identische Seiten gibt, musst du einfach nur die Formel für eine Seite mit sechs multiplizieren, um die Oberfläche des Würfels zu bestimmen. Die Formel für die Oberfläche (OF) eines Würfels lautes also: O = 6a2, mit der Länge einer Seite a.[2]- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss die Länge einer Seite. Bei einem Würfel sollte laut Definition jede Seitenlänge gleichlang sein. Du musst also nur eine Seite abmessen. Verwende ein Lineal und miss die Länge einer Seite. Achte dabei darauf, welche Einheit du verwendest.- Notiere deine Messung als Seitenlänge a.
- Beispiel: a = 2 cm
Quadriere das Maß für a. Nimm das Maß für die Seitenlänge hoch zwei. Ein Maß hoch zwei zu nehmen oder zu quadrieren bedeutet, den Wert mit sich selbst zu multiplizieren. Wenn du diese Formeln das erste Mal lernst, kann es hilfreich sein, wenn du dir die Formel in der Form O = 6*a*a aufschreibst.- Anmerkung: Dieser Schritt berechnet die Fläche einer Seitenflächen des Würfels.
- Beispiel: a = 2 cm
- a2 = 2 x 2 = 4 cm2
Multipliziere das Produkt mit sechs. Vergiss nicht, ein Würfel hat sechs identische Seitenflächen. Nachdem du jetzt die Fläche einer Seite kennst, musst du sie nur mit sechs multiplizieren, um die Fläche aller sechs Seiten zu bekommen.- Dieser Schritt vervollständigt die Berechnung der Würfeloberfläche.
- Beispiel: 'a2 = 4 cm2
- Oberfläche = 6 x a2 = 6 x 4 = 24 cm2
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Definiere die Formel für die Oberfläche eines Quaders. Ein Quader hat wie ein Würfel sechs Seiten. Aber anders als beim Würfel, sind diese Seiten nicht identisch. In einem Quader sind nur die gegenüberliegenden Seiten gleich.[3] Darum müssen die unterschiedlichen Seitenlängen in die Formel für die Oberfläche eingehen. Die Formel für die Oberfläche eines Quaders lautet deswegen: O = 2ab + 2bc + 2ac.- In dieser Formel steht a für die Breite des Quaders, b für seine Höhe und c für seine Länge.
- Wenn du dir die Formel genauer anschaust, erkennst du, dass darin nur die Flächeninhalte der sechs Flächen des Körpers addiert werden.
- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss die Länge, Höhe und Breite jeder Seite. Alle drei Maße können sich voneinander unterscheiden, also musst du sie alle einzeln messen. Verwende ein Lineal, miss jede Seite aus und schreibe das Ergebnis auf. Verwende für jedes Maß dieselbe Einheit.- Miss die Länge der Grundfläche, um die Länge des Quaders zu bestimmen und schreibe den Wert für c auf.
- Beispiel: c = 5 cm
- Miss die Breite der Grundfläche, um die Breite des Quaders zu bestimmen und schreibe den Wert für a auf.
- Beispiel: a = 2 cm
- Miss die Höhe einer Seitenfläche, um die Höhe des Quaders zu bestimmen und schreibe den Wert für b auf.
- Beispiel: b = 3 cm
Berechne den Flächeninhalt einer der Seitenflächen des Quaders und multipliziere ihn mit zwei. Vergiss nicht, ein Quader hat sechs Flächen, von denen die jeweils gegenüberliegenden immer gleich sind. Multipliziere die Länge und Höhe, also c und a, um den Flächeninhalt einer Seitenfläche zu bestimmen. Nimm diesen Wert und multipliziere ihn mit zwei, um die identische Seite mit einzuberechnen.[4]- Beispiel: 2 x (a x c) = 2 x (2 x 5) = 2 x 10 = 20 cm2
Finde den Flächeninhalt der anderen Seitenfläche des Quaders und multipliziere ihn mit zwei. Multipliziere wie beim ersten Flächenpaar die Breite und Höhe, oder a und b, um den Flächeninhalt einer anderen Seitenfläche des Quaders zu finden. Multipliziere diesen Wert mit zwei, um die gegenüberliegende, identische Fläche mit einzuberechnen. [5]- Beispiel: 2 x (a x b) = 2 x (2 x 3) = 2 x 6 = 12 cm2
Berechne den Flächeninhalt eines der Enden des Quaders und multipliziere ihn mit zwei. Die letzten zwei Flächen des Quaders sind seine Enden. Multipliziere die Länge und Breite, oder c und b, um ihren Flächeninhalt zu bestimmen. Multipliziere den Wert mit zwei, um beide Seiten zu berücksichtigen.[6]- Beispiel: 2 x (b x c) = 2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30 cm2
Addiere die drei unterschiedlichen Werte zusammen. Da die Oberfläche eines Körpers der Gesamtfläche aller seiner Flächen entspricht, musst du im letzten Schritt alle Teilflächen addieren. Addiere die Werte für alle Seiten, um die Gesamtfläche zu bekommen.[7]- Beispiel: Oberfläche = 2ab + 2bc + 2ac = 12 + 30 + 20 = 62 cm2.
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Definiere die Formel für die Oberfläche eines dreieckigen Prismas. Ein dreieckiges Prisma hat zwei identische, dreieckige Seiten und drei rechteckige Seitenflächen. Um die Oberfläche zu bestimmen, musst du den Flächeninhalt aller Seiten berechnen und addieren. Die Oberfläche eines dreieckigen Prisma lässt sich durch O = 2*A + U*H, mit dem Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche A, dem Umfang der dreieckigen Grundfläche U und der Höhe des Prismas H.[8]- In dieser Formel steht A für die Fläche des Dreiecks. Also gilt A = 1/2bh, mit b als die Basis (Grundlinie) und h als die Höhe des Dreiecks .
- U ist der Umfang des Dreiecks, also einfach die drei Seitenlängen addiert.
- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Berechne den Flächeninhalt der Dreiecksfläche und multipliziere ihn mit zwei. Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich mit 1/2b*h, mit der Basis oder Grundlinie b und der Höhe h. Da es zwei identische Dreiecksflächen gibt, nimmst du diesen Wert mal zwei. Dadurch wird die Formel für die beiden Dreiecksflächen einfach b*h.[9]- Die Basis des Dreiecks, b, entspricht der Länge der Grundlinie des Dreiecks.
- Beispiel: b = 4 cm
- Die Höhe des Dreiecks, h, entspricht dem Abstand zwischen der Grundlinie und der Spitze.
- Beispiel: h = 3 cm
- Die Fläche des einen Dreiecks mal zwei = 2*(1/2)b*h = 4 * 3 = 12 cm
Miss jede Seite des Dreiecks und die Höhe des Prismas. Um die Oberflächenberechnung abzuschließen, benötigst du die Länge jeder Seite des Dreiecks und die Höhe des Prismas. Die Höhe entspricht dem Abstand zwischen den beiden Dreiecksflächen.- Beispiel: H = 5 cm
- Die drei Seiten beziehen sich auf die drei Seiten der dreieckigen Grundfläche.
- Beispiel: S1 = 2 cm, S2 = 4 cm, S3 = 6 cm
Bestimme den Umfang des Dreiecks. Der Umfang eines Dreiecks kann berechnet werden, indem man die Länge seiner Seiten addiert: S1 + S2 + S3.- Beispiel: U = S1 + S2 + S3 = 2 + 4 + 6 = 12 cm
Multipliziere den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas. Denke daran, die Höhe des Prismas entspricht dem Abstand der zwei dreieckigen Grundflächen. In anderen Worten, multipliziere U mit H.- Beispiel: U x H = 12 x 5 = 60 cm2
Addiere die beiden Werte zusammen. Du musst die beiden Maße aus den vorherigen zwei Schritten addieren, um die Oberfläche des dreieckigen Prismas zu bekommen.[10]- Beispiel: 2A + UH = 12 + 60 = 72 cm2.
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Definiere die Formel für die Oberfläche einer Kugel. Eine Kugel hat eine gekrümmte Form, deswegen muss die Formel für die Oberfläche die mathematische Konstante Pi enthalten. Die Oberfläche einer Kugel berechnet sich mit der Gleichung: O = 4π*r2.[11]- In dieser Formel steht r für den Radius der Kugel. Pi oder π kann auf 3,14 abgerundet werden.
- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss den Radius der Kugel. Der Radius entspricht dem halben Durchmesser der Kugel oder anders ausgedrückt, dem halben Abstand von einer Seite der Kugel zur anderen, durch ihre Mitte.[12]- Beispiel: r = 3 cm
Quadriere den Radius. Um eine Zahl zu quadrieren, multipliziere sie einfach mit sich selbst. Multipliziere das Maß für r mit sich selbst. Denke daran, die Oberflächenformel kann zu 4π*r*r umgeschrieben werden.[13]- Beispiel: r2 = r x r = 3 x 3 = 9 cm2
Multipliziere den quadrierten Radius mit der Näherung von Pi. Pi ist eine Konstante, die das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser angibt.[14] Als irrationale Zahl hat Pi viele Stellen, wird aber meistens auf 3,14 gerundet. Multipliziere den quadrierten Radius mit Pi, oder 3,14, um die Fläche eines kreisförmigen Bereichs der Kugel zu berechnen.[15]- Beispiel: π*r2 = 3,14 x 9 = 28,26 cm2
Multipliziere das Produkt mit vier. Um deine Berechnung abzuschließen, multipliziere das Ergebnis mit vier. Finde die Oberfläche der Kugel, indem du die flache kreisförmige Fläche mit vier multiplizierst.[16]- Beispiel: 4π*r2 = 4 x 28,26 = 113,04 cm2
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Definiere die Formel für die Oberfläche eines Zylinders. Ein Zylinder hat zwei kreisförmige Enden, die eine gerundete Oberfläche, den Mantel, abschließen. Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders lautet: O = 2π*r2 + 2π*rh, mit dem Radius der kreisförmigen Grundfläche r und der Höhe des Zylinders h. Runde Pi oder π auf 3,14.[17]- 2π*r2 entspricht dem Flächeninhalt der beiden kreisförmigen Enden. 2πrh ist die Oberfläche der sie verbindenden Säule.
- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss den Radius und die Höhe des Zylinders. Der Radius eines Kreises entspricht seinem halben Durchmesser. Anders ausgedrückt, ist der Radius die halbe Entfernung durch den Mittelpunkt von einem Ende des Kreises zum anderen Ende des Kreises.[18]Die Höhe ist der Abstand von einem Ende des Zylinders zum anderen Ende. Verwende ein Lineal, miss diese Maße ab und schreibe sie auf.- Beispiel: r = 3 cm
- Beispiel: h = 5 cm
Finde den Flächeninhalt der Grundfläche und multipliziere ihn mit zwei. Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, verwendest du einfach die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises, also π*r2. Um die Berechnung durchzuführen, quadriere den Radius und multipliziere ihn mit Pi. Multipliziere das Ergebnis mit zwei, um die zweite, identische Fläche auf der anderen Seite des Zylinders einzuberechnen.[19]- Beispiel: Flächeninhalt der Grundfläche = π*r2 = 3,14 x 3 x 3 = 28,26 cm2
- Beispiel: 2π*r2 = 2 x 28,26 = 56,52 cm2
Berechne die Fläche des Mantels mit der Formel 2π*rh. Der Mantel ist die Verbindung zwischen den beiden kreisförmigen Grundflächen des Zylinders. Multipliziere den Radius mit zwei, Pi und der Höhe.[20]- Beispiel: 2π*rh = 2 x 3,14 x 3 x 5 = 94,2 cm2
Addiere die beiden Ergebnisse zusammen. Addiere den Flächeninhalt der beiden Kreise mit der Fläche des Mantels, um die Gesamtoberfläche des Zylinders zu erhalten. Anmerkung: Wenn du die beiden Teilergebnisse addierst, erkennst du die Originalformel: O =2π*r2 + 2π*rh.[21]- Beispiel: 2π*r2 + 2π*rh = 56,52 + 94,2 = 150,72 cm2
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Definiere die Formel für die Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Eine quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche und vier dreieckige Seitenflächen. Denke daran, die Fläche eines Quadrats berechnet sich durch die Länge einer Seite zum Quadrat. Die Fläche eines Dreiecks ist ½ sl (Grundlinie des Dreiecks multipliziert mit seiner Höhe). Da eine Pyramide vier dreieckige Seitenflächen besitzt, musst du die Formel noch mit vier multiplizieren. Wenn du alle Flächen addierst, bekommst du die Formel für die Oberfläche einer Pyramide: O = s2 + 2sl.[22]- In dieser Formel steht s für jede der Seitenlängen der quadratischen Grundfläche und l für die schräge Höhe jeder dreieckigen Seitenfläche.
- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss die schräge Höhe und die Grundlinie. Die schräge Höhe, l, ist die Höhe einer der dreieckigen Seitenflächen. Sie entspricht dem Abstand zwischen der Grundlinie der Seitenfläche und der Spitze der Pyramide und wird entlang der Seitenfläche gemessen. Die Grundlinie, s, ist die Länge einer Seite der quadratischen Grundfläche. Da die Grundfläche quadratisch ist, sind alle Seiten gleichlang. Verwende ein Lineal, um die Maße aufzunehmen.[23]- Beispiel: l = 3 cm
- Beispiel: s = 1 cm
Finde den Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche. Die Fläche der quadratischen Grundfläche kann berechnet werden, indem die Länge einer ihrer Seiten quadriert wird. Also indem s mit sich selbst multipliziert wird.[24]- Beispiel: s2 = s x s = 1 x 1 = 1 cm2
Berechne die Gesamtfläche der vier dreieckigen Seitenflächen. Der zweite Teil der Formel beinhaltet die Oberfläche der verbliebenen vier dreieckigen Seitenflächen. Verwende die Formel 2ls und multipliziere s mit l und zwei. Dadurch erhältst du die Fläche aller Seitenflächen.[25]- Beispiel: 2 x s x l = 2 x 1 x 3 = 6 cm2
Addiere die beiden Ergebnissen. Addiere die Gesamtfläche der Seitenflächen mit der Fläche der Grundfläche, um deine Gesamtoberfläche zu erhalten.[26]- Beispiel: s2 + 2sl = 1 + 6 = 7 cm2
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Definiere die Formel für die Oberfläche eines Kegels. Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine gerundete Seitenfläche, die zu einem Punkt zusammenläuft. Um die Oberfläche zu bestimmen, musst du die Fläche der kreisförmigen Grundfläche und die Seitenfläche des Kegels berechnen und addieren. Die Formel für die Oberfläche eines Kegels lautet: SA = π*r2 + π*rl, mit dem Radius der kreisförmigen Grundfläche r, der schrägen Höhe des Kegels l und der mathematischen Konstante π oder Pi (3,14).[27]- Die Einheit der Oberfläche ist eine quadrierte Längeneinheit: cm2, m2, in2 usw.
Miss den Radius und die Höhe des Kegels. Der Radius ist der Abstand vom Zentrum der kreisförmigen Grundfläche zur Seite der Grundfläche. Die Höhe ist der Abstand vom Zentrum des Radius zur Spitze des Kegels, gemessen durch das Zentrum des Kegels.[28]- Beispiel: r = 2 cm
- Beispiel: h = 4 cm
Berechne die schräge Höhe (l) des Kegels. Da die schräge Höhe eigentlich der Hypotenuse eines Dreiecks entspricht, musst du den „Satz des Pythagoras“ verwenden, um sie zu berechnen. Verwende die umgestellt Variante, l = √ (r2 + h2), mit dem Radius r und der Höhe h des Kegels.[29]- Beispiel: l = √ (r2 + h2) = √ (2 x 2 + 4 x 4) = √ (4 + 16) = √ (20) = 4,47 cm
Bestimme den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche. Der Flächeninhalt der Grundfläche berechnet sich mit der Formel π*r2. Nachdem du den Radius ausgemessen hast, quadriere ihn (multipliziere ihn mit sich selbst) und multipliziere das Produkt mit Pi.[30]- Beispiel: π*r2 = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 cm2
Berechne die Oberfläche des oberen Teils des Kegels (Mantel). Verwende dazu die Formel π*rl, mit dem Radius des Kreises r und der schrägen Höhe l, die du bereits berechnet hast.[31]- Beispiel: π*rl = 3.14 x 2 x 4.47 = 28,07 cm
Addiere die beiden Flächen, um deine Gesamtoberfläche zu bekommen. Berechne die Gesamtoberfläche deines Kegels, indem du den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche zu dem Ergebnis aus dem vorherigen Schritt addierst.[32]- Beispiel: π*r2 + π*rl = 12,56 + 28,07 = 40,63 cm2
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Was du brauchst
- Lineal
- Bleistift oder Füller
- Papier
Referenzen
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- ↑ http://www.aaamath.com/geo79_x9.htm
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- ↑ http://openhighschoolcourses.org/mod/book/view.php?id=269&chapterid=522
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Mathelehrerin, City College of San Francisco
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