Den maximalen Erlös berechnen

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In diesem Artikel:

Die Erlösfunktion verwenden

Den Wert des maximalen Erlöses finden

Eine weitere Beispielaufgabe lösen

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Literaturhinweise

Wirtschaftsstatistiker wissen, wie sie Verkaufsdaten verwenden können, um mathematische Funktionen für Umsatz und Nachfrage zu bestimmen. Mit diesen Funktionen und einfachem Rechnen ist es möglich, den maximalen Erlös zu berechnen, den ein Unternehmen erwarten kann. Wenn du die Erlösfunktion kennst, kannst du die erste Ableitung dieser Funktion finden und dann den maximalen Punkt dieser Funktion ermitteln.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 3:

Die Erlösfunktion verwenden

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   Verstehe das Verhältnis zwischen Preis und Nachfrage. Wirtschaftsstudien zeigen, dass bei den meisten herkömmlichen Unternehmen der Preis für einen Artikel, wenn die Nachfrage nach diesem Artikel steigt, sinken sollte. Im Gegenzug sollte die Nachfrage, wenn der Preis sinkt, steigen. Unter Anwendung von Daten aus den tatsächlichen Verkäufen kann ein Unternehmen einen Graphen für Angebot und Nachfrage erstellen. Diese Daten können verwendet werden, um einen Preisfunktion zu erstellen.

   • Wenn du möchtest, kannst du weitere Informationen zur graphischen Darstellung von Daten zu Angebot und Nachfrage finden.
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   Erstelle eine Preisfunktion. Die Preisfunktion besteht aus zwei elementaren Informationen. Die erste ist der Schnittpunkt. Das ist ein theoretischer Preis, wenn keine Artikel verkauft werden. Die zweite Information ist eine abnehmende Steigung. Die Steigung des Graphen stellt eine Preissenkung für jeden Artikel dar. Ein Beispiel für eine Preisfunktion könnte so aussehen:

   • $p=500-{\frac {1}{50}}q$
     • p = Preis
     • q = Nachfrage als Stückanzahl
   • Diese Funktion setzt den „Nullpreis“ bei 500 € an. Für jede verkaufte Einheit sinkt der Preis um 1/50 eines Euros (zwei Cent).
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   Bestimme die Erlösfunktion. Der Erlös ist das Produkt des Preises mal der Anzahl der verkauften Einheiten. Da die Preisfunktion eine Stückzahl enthält, wirst du eine Variable hoch zwei erhalten. Unter Anwendung der obigen Preisfunktion wird die Erlösfunktion zu:

   • $R(q)=p*q$
   • $R(q)=[500-{\frac {1}{50}}q]*q$
   • $R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}$
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Den Wert des maximalen Erlöses finden

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   Finde die erste Ableitung der Erlösfunktion. In der Mathematik wird die Ableitung einer Funktion verwendet, um die Änderungsrate dieser Funktion zu finden. Der maximale Wert einer bestimmten Funktion tritt ein, wenn die Ableitung gleich Null ist. Um den Erlös also zu maximieren, findest du die erste Ableitung der Erlösfunktion.

   • Nehmen wir an, die Erlösfunktion ist in Hinsicht auf verkaufte Einheiten $R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}$. Die erste Ableitung ist somit:
     • $R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q$
   • Für eine Wiederholung der Ableitungen, sieh dir den Artikel über Ableitungen an.
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   Setze die Ableitung gleich 0. Wenn die Ableitung Null ist, ist die ursprüngliche Funktion entweder auf einem Höhepunkt oder einem Tiefpunkt. Das wird entweder der maximale oder der minimale Wert sein. Für höhergradige Funktionen könnte es mehr als eine Lösung geben, wenn die Ableitung Null ist, bei einer einfachen Preis-Nachfrage-Funktion aber nicht.

   • $R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q$
   • $0=500-{\frac {2}{50}}q$
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   Löse nach der Stückanzahl bei dem Wert 0. Verwende einfache Mathematik, um die Ableitung nach der zu verkaufenden Stückzahl zu lösen, für die die Ableitung gleich Null ist. So erhältst du die Stückzahl, bei der der Erlös am höchsten sein wird.

   • $0=500-{\frac {2}{50}}q$
   • ${\frac {2}{50}}q=500$
   • ${\frac {1}{50}}q=250$
   • $q=50*250$
   • $q=12.500$
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   Berechne den maximalen Preis. Wenn du die optimale Verkaufszahl aus der Ableitungsfunktion in die ursprüngliche Preisformel einsetzt, kannst du den optimalen Preis finden.

   • $p=500-{\frac {1}{50}}q$
   • $p=500-{\frac {1}{50}}12.500$
   • $p=500-250$
   • $p=250$
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   Kombiniere die Ergebnisse, um den maximalen Erlös zu berechnen. Nachdem du die optimale Verkaufszahl und den optimalen Preis gefunden hast, multiplizierst du sie, um den maximalen Erlös zu finden. Merke dir, dass $R=p*q$. Der maximale Erlös in diesem Beispiel ist daher:

   • $R=p*q$
   • $R=(250)(12.500)$
   • $R=3.125.000$
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   Fasse das Ergebnis zusammen. Basierend auf diesen Berechnungen ist die optimale zu verkaufenden Stückzahl 12.500 bei einem optimalen Preis von je 250 €. Das ergibt in dieser Beispielaufgabe einen maximalen Erlös von 3.125.000 €.
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Eine weitere Beispielaufgabe lösen

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   Beginne mit der Preisfunktion. Nehmen wir an, ein anderes Unternehmen hat Daten zu Preisen und Verkäufen gesammelt. Mit diesen Daten hat das Unternehmen einen anfänglichen Preis von 100 € ermittelt und jede weitere verkaufte Einheit senkt den Preis um einen Cent. Mit diesen Daten ergibt sich die Preisfunktion:

   • $p=100-0,01q$
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   Bestimme die Erlösfunktion. Merke dir, dass der Erlös gleich der Preis mal der Menge ist. Der obigen Preisfunktion zufolge ist die Erlösfunktion:

   • $R(q)=[100-0,01q]*q$
   • $R(q)=100q-0,01q^{2}$
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   Finde die Ableitung der Erlösfunktion. Mithilfe einfacher Mathematik findest du folgende Erlösfunktion:

   • $R(q)=100q-0,01q^{2}$
   • $R^{\prime }(q)=100-(2)0,01q$
   • $R^{\prime }(q)=100-0,02q$
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   Finde den Höchstwert. Setze die Ableitung gleich Null und löse nach $q$, um die optimale Anzahl an Verkäufen zu finden. Die Berechnung sieht so aus:

   • $R^{\prime }(q)=100-0,02q$
   • $0=100-0,02q$
   • $0,02q=100$
   • $q=100/0,02$
   • $q=5.000$
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   Berechne den optimalen Preis. Setze den Wert für die optimale Anzahl an Verkäufen in die ursprüngliche Preisformel ein, um den optimalen Verkaufspreis zu finden. In diesem Beispiel funktioniert das so:

   • $p=100-0,01q$
   • $p=100-0,01(5,000)$
   • $p=100-50$
   • $p=50$
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   Kombiniere die maximale Anzahl an Verkäufen und den optimalen Preis, um den maximalen Erlös zu finden. Verwende das Verhältnis, dass Erlös gleich der Preis mal der Menge ist, um so den maximalen Erlös zu finden:

   • $R(q)=p*q$
   • $R(q)=50*5.000$
   • $R(q)=250.000$
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   Interpretiere das Ergebnis. Basierend auf der Preisfunktion $p=100-0,01q$, ist der maximale Erlös des Unternehmens 250.000 €. Dabei wird von einem Stückpreis von 50 € und einem Verkauf von 5.000 Einheiten ausgegangen.
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