Algebra verstehen

PDF herunterladen

PDF herunterladen

In diesem Artikel:

Die Zielvorgaben in der Algebra kennen

Die Operatorrangfolge anwenden

Mit Variablen arbeiten

Aufgaben der Algebra mit inversen Operationen lösen

Ein starkes Fundament zum Lernen aufbauen

Mehr 2 zeigen...

Weniger zeigen...

Verwandte Artikel

Literaturhinweise

Am Anfang kann es schwierig wirken, Algebra zu verstehen. Wenn du aber ein starkes Grundwissen der mathematischen Tatsachen für Anfänger aufbaust und beginnst, die „Sprache“ der Algebra zu lernen, kannst du sie leichter verstehen. Die Grundschritte beim Lösen von Problemen zur Algebra sind kleine Operationen, die in kleinen Schritten ausgeführt werden, bis die ursprüngliche Aufgabe „aufgehoben“ wird. Diese Schritte sorgfältig und in der richtigen Reihenfolge durchzuführen sollte zum richtigen Ergebnis führen.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 5:

Die Zielvorgaben in der Algebra kennen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Lies die Aufgabenstellung genau durch. Wenn du eine oder mehrere Aufgaben zur Algebra hast, musst du dir die Anweisungen genau durchlesen. Suche nach Schlagwörtern in der Aufgabenstellung wie „löse“, „vereinfache“, „finde die Faktoren“ oder „kürze“. Das sind einige der geläufigsten Anweisungen (auch wenn es noch einige andere gibt, die du lernen wirst). Viele Leute stoßen auf Probleme, weil sie versuchen, eine Aufgabe zu „lösen“, wenn sie sie eigentlich nur „vereinfachen“ sollen.
2. 
   2
   Führe die Operationen durch, zu denen du angewiesen wirst. Wenn du die Aufgabenstellung durchliest, solltest du die Schlüsselworte feststellen und anschließend diese Operationen durchführen. Viele Leute fühlen sich frustriert mit Algebra, wenn sie versuchen etwas zu machen, das genau genommen nicht Teil der gestellten Aufgabe ist. Die Grundoperationen, zu denen du aufgefordert wirst, sind:

   • Löse. Du musst die Aufgabe auf eine tatsächliche Zahl als Lösung reduzieren, wie „x=4“. Du musst einen Wert für die Variable finden, mit dem sich die Aufgabe als wahr erweist.
   • Vereinfache. Du musst die Aufgabe zu einer einfacheren Form als zuvor bearbeiten, am Ende wirst du aber kein Ergebnis haben, das man als „Lösung“ ansehen kann. Du hast vermutlich keinen einzelnen Zahlenwert für die Variable.
   • In Faktoren zerlegen. Das ist ähnlich wie „vereinfachen“ und wird normalerweise bei komplexen Polynomen und Brüchen eingesetzt. Du musst eine Möglichkeit finden, die Aufgabe in kleinere Terme umzuwandeln. So wie die Zahl 12 in die Faktoren 3x4 aufgespalten werden kann, kannst du das auch bei einem algebraischen Polynom machen.
     • Ein einfacher Ausdruck wie $5x$ zum Beispiel kann in die Faktoren $5$ und $x$ zerlegt werden.
     • Der Ausdruck $x^{2}+3x+2$ zum Beispiel kann in die Faktoren $(x+2)$ und $(x+1)$ zerlegt werden.
   • Kürze. Eine Aufgabe zu „kürzen“ beinhaltet in der Regel eine Kombination aus Aufteilen in Faktoren und dann Vereinfachen. Du kannst die Terme des Zählers und des Nenners in ihre Faktoren aufteilen. Suche anschließend nach gemeinsamen Faktoren oder Teilern im oberen und im unteren Teil und streiche sie. Was übrig bleibt ist eine „gekürzte“ Form der ursprünglichen Aufgabe. Kürze zum Beispiel den Ausdruck ${\frac {6x^{2}}{2x}}$ wie folgt:
     • 1. Zerlege den Zähler und den Nenner in Faktoren: ${\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}$
     • 2. Suche nach Termen, die sie gemeinsam haben. Sowohl der Zähler als auch der Nenner haben die Faktoren 2 und x in sich.
     • 3. Streiche gemeinsame Terme: ${\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}$
     • 4. Schreibe auf, was übrig bleibt: $3x$
3. 
   3
   Lerne den Unterschied zwischen „Ausdruck“ und „Gleichung“. In der Algebra ist die Unterscheidung zwischen einem „Ausdruck“ und einer „Gleichung“ sehr wichtig. Ein Ausdruck ist eine Gruppe aus Zahlen und Variablen, die zusammen stehen. Ein paar Beispiele für Ausdrücke sind $x$, $14xyz$ und ${\sqrt {2x+15}}$. Einen Ausdruck kannst du lediglich vereinfachen oder in Faktoren zerlegen. Eine Gleichung hingegen enthält ein Gleichheitszeichen (=). Man kann Gleichungen vereinfachen oder in Faktoren zerlegen, man kann sie aber auch lösen und ein endgültiges Ergebnis erhalten. Es ist wichtig, sich den Unterschied anzusehen.

   • Wenn du einen Ausdruck wie $4x^{2}$ hast, kannst du nie eine einzige „Lösung“ oder ein „Ergebnis“ finden. Du könntest herausfinden, dass wenn $x=1$ ist, dann hätte der Ausdruck einen Wert von 4 und wenn $x=2$, dann hätte der Ausdruck einen Wert von $(4)(2)^{2}$, was 16 ergibt. Du kannst aber keine einzelne „Lösung“ ermitteln.
   Werbeanzeige

Teil 2

Teil 2 von 5:

Die Operatorrangfolge anwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Lerne die Rangfolge der Operatoren. In der Algebra müssen Schritte in einer logischen Reihenfolge durchgeführt werden, die als „Operratorrangfolge“ bezeichnet wird. Vereinfacht kann man sagen, es wird „Punkt vor Strich“ gerechnet, das heißt Division und Multiplikation werden vor Addition und Subtraktion durchgeführt. Im Englischen wird das Akronym „PEMDAS“ angewandt, das auch weitere Operationen umfasst und angibt, in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden müssen:

   • Parentheses (Klammern)
   • Exponents (Exponenten oder Potenzen)
   • Multiplication (Multiplikation)
   • Division
   • Addition
   • Subtraction (Subtraktion)
2. 
   2
   Führe zunächst die Operationen in den Klammern durch. Wenn du einen Ausdruck oder eine Gleichung hast, die Terme in Klammern enthält, musst du zunächst das ausführen, was innerhalb der Klammer steht. Betrachte den Unterschied zwischen $5*3+2$ und $5*(3+2)$.

   • Ohne die Klammern würde der erste Ausdruck $5*3+2$, zu $15+2=17$ werden.
   • Mit Klammern, $5*(3+2)$, würdest du zuerst das (3+2) ausführen, der Ausdruck wird also vereinfacht zu $5*5=25$.
3. 
   3
   Vereinfache als Nächstes alle Potenzen. Potenzen müssen aufgelöst werden, um einen Schritt weiter zu vereinfachen oder eine Aufgabe zu lösen. Sieh dir den Ausdruck $3*2^{2}$ an. Ohne die Operatorrangfolge wüsstest du nicht, ob du zuerst $3*2$ multiplizieren und dann das Ergebnis quadrieren musst, sodass der Wert 36 ist, oder ob du zuerst die 2 quadrierst und dann mit 3 multiplizierst. Die richtige Reihenfolge ist:

   • $3*2^{2}$
   • $3*4$….. Quadriere zuerst die 2.
   • $12$….. Das ist das Ergebnis, das erwartet wird.
4. 
   4
   Multipliziere oder dividiere, von links nach rechts. Multiplikation und Division werden zusammen ausgeführt. Nachdem du alle Potenzen ausgerechnet hast, führst du Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts aus.

   • $3+4*2-6/3$
   • $3+8-2$…..4*2=8 und 6/3=2. Sie können im selben Schritt durchgeführt werden.
5. 
   5
   Addiere oder subtrahiere, wieder von rechts nach links. Addition und Subtraktion sind die letzten Schritte in der Rangfolge. Nun addierst oder subtrahierst du die übrigen Terme in dem Ausdruck. Du kannst sie im selben Schritt durchführen und dich von rechts nach links durch die Aufgabe arbeiten. Betrachte den Ausdruck $4+2-3-1-5+2$:

   • $4+2-3-1-5+2$
   • $6-3-1-5+2$…..(Addiere 4+2)
   • $3-1-5+2$…..(Subtrahiere 6-3)
   • $2-5+2$…..(Subtrahiere 3-1)
   • $-3+2$…..(Subtrahiere 2-5)
   • $-1$…..(Addiere -3+1)
   • Wenn du die Schritte in irgendeiner anderen Reihenfolge ausführst, könntest du ein anderes, unkorrektes Ergebnis erhalten. Nehmen wir zum Beispiel an, du entscheidest dich dafür, zuerst alle Additionen und dann alle Subtraktionen auszuführen:
   • $4+2-3-1-5+2$
   • $6-3-1-7$…..(Addiere 4+2 und 5+2)
   • $3-1-7$…..(Subtrahiere 6-3)
   • $2-7$…..(Subtrahiere 3-1)
   • $-5$…..(Subtrahiere 2-7. Damit erhältst du das Ergebnis -5, das falsch ist.)
   Werbeanzeige

Teil 3

Teil 3 von 5:

Mit Variablen arbeiten

PDF herunterladen

1. 
   1
   Gewöhne dich an andere Symbole als Zahlen. Anfangs hast du in der Mathematik nur mit Zahlen gearbeitet. In der Algebra lernst du, Aufgaben mit unbekannten Termen lösen zu können. Diese unbekannten Terme werden in der Aufgabe durch Buchstaben dargestellt. Du musst dich damit vertraut machen, diese Buchstaben wie Zahlen zu behandeln, auch wenn du noch nicht ihren tatsächlichen Wert kennst. Ein paar geläufige Beispiele für Variablen sind:

   • Buchstaben wie $x$, $y$ oder $z$
   • Griechische Symbole wie $\theta$, $\alpha$ oder $\sigma$.
   • Denke daran, dass manche Symbole wie Variablen aussehen könnten, aber tatsächlich für bekannte Zahlen stehen. Das griechische Symbol $\pi$ zum Beispiel steht für die Zahl 3,1415.
2. 
   2
   Betrachte die Variable als unbekannten Platzhalter. Du kannst an die Phrase „zweimal irgendeine Zahl“ denken und das ausdrücken durch $2*x$. Die Variable $x$ nimmt den Platz der unbekannten „irgendeine Zahl“ ein. Üblicherweise ist deine Aufgabe, den Wert der Variable zu ermitteln.

   • Wenn du zum Beispiel mit der Gleichung $4+x=9$ beginnst, musst du denken „Welche Zahl ergibt addiert mit 4 die 9?“ Die Lösung ist 5, was du algebraisch aufschreiben kannst als $x=5$.
3. 
   3
   Kombiniere gleiche Variablen miteinander. Wenn du lernst, die Variablen wie Zahlen zu behandeln, kannst du sie wie Zahlen auch kombinieren oder vereinfachen. Das wird üblicherweise als „Zusammenfassen von Termen“ bezeichnet”.

   • Zum Beispiel heißt $2x+3x=10$ einfach, dass 2 von einer Variable mit 3 derselben Variable zusammen 10 ergeben. Wenn du 2 von etwas hast und 3 von derselben Sache, kannst du sie addieren. Dann wird $2x+3x$ zu 5x, die Aufgabe wird also zu $5x=10$ und die Lösung lautet $x=2$.
   • Du kannst nur dieselbe Variable addieren oder subtrahieren. Manche Aufgaben der Algebra enthalten zwei oder mehr Variablen. In der Aufgabe $2x+3y=10$ kannst du die Terme $x$ und $y$ nicht addieren, weil die unterschiedlichen Variablen für unterschiedliche Zahlen stehen.
   Werbeanzeige

Teil 4

Teil 4 von 5:

Aufgaben der Algebra mit inversen Operationen lösen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Verstehe das Konzept der inversen Operationen. Das Umformen von Gleichungen durch inverse Operationen, also umgekehrte Operationen, ist entscheidend, um Gleichungen erfolgreich zu lösen. Mit den sogenannten Äquivalenzumformungen kann man eine Aufgabe rückgängig machen oder entwirren. Wenn eine Aufgabe zum Beispiel eine Multiplikation enthält, wirst du zur Lösung der Aufgabe Division anwenden, die Umkehrung der Multiplikation.

   • Die Umkehrung (oder Inverse) der Addition ist die Subtraktion.
   • Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.
   • Die Umkehrung einer Hochzahl ist eine Wurzel (Quadratwurzel, Kubikwurzel usw.)
2. 
   2
   Richte dein Augenmerk darauf, die Variable zu isolieren. Wenn du aufgefordert wirst, eine Gleichung zu „lösen“, bedeutet das, dass du am Ende $x=$__ haben sollst, mit einer Zahl an der freien Stelle. Du musst Algebra einsetzen, um alles andere von dem Term $x$ zu entfernen, sodass er alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Das machst du durch eine Reihe von inversen Operationen.

   • Die wichtigste Regel, die du dir merken musst, ist dass du jede Operation, die du auf einer Seite der Gleichung anwendest, auch auf der anderen Seite der Gleichung durchgeführt werden muss. So bleibt die Gleichung ausgeglichen und weiterhin wahr.
3. 
   3
   Hebe Addition durch die Anwendung einer Subtraktion auf (und vice versa). Die einzelnen Terme in einer Gleichung sind durch eine Kombination von Plus- und Minuszeichen miteinander verbunden. Du kannst sie „streichen“, um die Variable alleine stehen zu lassen, indem du die gegensätzliche Operation ausführst.

   • Wenn du zum Beispiel mit $x+3=7$ beginnst, möchtest du, dass am Ende das $x$ alleine steht. Die Umkehrung von $+3$ ist $-3$. Vergiss nicht, dass du alles auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst. So erhältst du:
     • $x+3=7$
     • $x+3-3=7-3$…..(subtrahiere 3 gleichermaßen von beiden Seiten)
     • $x=4$…..(das +3 und -3 heben einander auf und übrig bleibt das Ergebnis)
   • Wenn du mit einer Subtraktionsaufgabe beginnst, kannst du sie auf dieselbe Weise mit einer Addition aufheben:
     • $x-8=12$
     • $x-8+8=12+8$…..(addiere 8 auf beiden Seiten)
     • $x=20$…..(das +8 und -8 heben einander auf und übrig bleibt das Ergebnis)
4. 
   4
   Hebe eine Multiplikation durch die Anwendung einer Division auf (und vice versa). Auf dieselbe Weise kannst du umgekehrte Operationen bei Multiplikation und Division anwenden. Ein Term wie $3x$ bedeutet $3*x$. Damit die Variable alleine steht, dividierst du. Vergiss nicht, dass du bei einer Gleichung auf beiden Seiten gleichermaßen dividieren musst.

   • Betrachte diese Aufgabe: $3x=24$. Da es sich um eine Multiplikationsaufgabe handelt, löst du sie durch Division:
     • $3x=24$
     • ${\frac {3x}{3}}={\frac {24}{3}}$…..(Teile beide Seiten gleichermaßen durch 3. Beachte, dass das Symbol $\div$ in der Algebra normalerweise nicht eingesetzt wird. Stattdessen wird eine Division in Form eines Bruches aufgeschrieben.)
     • $x=8$…..(die 3en auf der linken Seite heben einander auf und übrig bleibt das Ergebnis)
   • Gehe genauso vor, um eine Divisionsaufgabe mit Multiplikation aufzuheben. Betrachte die Aufgabe: ${\frac {x}{4}}=9$:
     • ${\frac {x}{4}}=9$
     • ${\frac {x}{4}}*4=9*4$…..(multipliziere beide Seiten mit 4)
     • $x=36$…..(die 4ren auf der linken Seite heben einander auf und übrig bleibt das Ergebnis)
5. 
   5
   Wende eine Kombination aus Addieren/Subtrahieren und Multiplizieren/Dividieren an. Wenn Aufgaben komplizierter werden, musst du vielleicht mehrere Operationen anwenden, um eine Lösung zu erhalten. Üblicherweise setzt man zuerst Addition und Subtraktion ein, um die Variable mit ihrem Koeffizienten zu isolieren. Dann wendet man Multiplikation oder Division an, um das Ergebnis zu finden.

   • $3x+5=23$
   • $3x+5-5=23-5$…..(subtrahiere zunächst 5 von beiden Seiten, damit der Term mit x alleine stehen bleibt)
   • $3x=18$…..(die +5 und -5 heben einander auf der linken Seite auf)
   • ${\frac {3x}{3}}={\frac {18}{3}}$…..(teile beide Seiten durch 3)
   • $x=6$…..(die 3en auf der linken Seite heben einander auf und übrig bleibt das Ergebnis)
6. 
   6
   Überprüfe dein Ergebnis. In der Algebra kann man so gut wie immer herausfinden, ob man eine Aufgabe richtig gelöst hat, indem man die Lösung überprüft. Nimm das Ergebnis, das du herausgefunden hast, und setze es in die ursprüngliche Aufgabenstellung an die Stelle der Variable. Vereinfache dann die Aufgabe und wenn du so zu einer wahren Aussage kommst, ist deine Lösung richtig.

   • Probiere es mit dem Beispiel, das wir gerade gelöst haben, $3x+5=23$. Setze die Lösung $x=6$ an die Stelle der Variable:
     • $3x+5=23$
     • $3(6)+5=23$…..(Setze den Wert $x=6$ ein.)
     • $18+5=23$…..(Vereinfache die Gleichung.)
     • $23=23$….. (Das ist wahr, die Lösung $x=6$ ist also korrekt.)
   Werbeanzeige

Teil 5

Teil 5 von 5:

Ein starkes Fundament zum Lernen aufbauen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Lerne grundlegende Fakten der Mathematik. Algebra ist ein System, bei dem man Zahlen und Operationen handhabt und so versucht, Aufgaben zu lösen. Wenn du Algebra lernst, wirst du die Regeln lernen, die beim Lösen von Aufgaben zu befolgen sind. Damit dir das leichter fällt, musst du ein starkes Verständnis grundlegender mathematischer Fakten haben. Du solltest grundlegende Tatsachen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kennen und in der Lage sein, leicht mit ihnen zu arbeiten. Insbesondere solltest du Folgendes können:

   • Einstellige Zahlen schnell im Kopf addieren und subtrahieren. Mit zweistelligen Zahlen arbeiten zu können ist noch hilfreicher.
   • Die Multiplikationstabellen von 1 bis 12 auswendig kennen.
   • Division und Faktoren von Zahlen bis zu 144 kennen (12x12).
2. 
   2
   Übe die Regeln der Brüche. In der Algebra werden die Regeln für Brüche ebenso viel angewandt wie in jedem anderen Zahlensystem. Du musst vertraut damit sein, gemeinsame Nenner zu finden, Brüche zu addieren und zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Wenn du Algebra lernst, weitest du dieses Wissen dahingehend aus, dass du mit unbekannten Variablen arbeitest, dafür brauchst du aber zuerst ein starkes Verständnis der Grundlagen.

   • Kenne die Bedeutung von Kehrwerten. Du musst das Konzept von Kehrwerten oder reziproken Werten kennen. Die Kurzdefinition eines Kehrwerts ist, dass es ein umgekehrter Bruch ist. Daher ist der Kehrwert von ${\frac {2}{3}}$ gleich ${\frac {3}{2}}$ und der Kehrwert von ${\frac {4}{5}}$ ist ${\frac {5}{4}}$. Man setzt Kehrwerte als eine Alternative zu Division ein, wenn die Aufgabe komplex ist. Anstatt durch einen Bruch zu teilen, kann man mit seinem Kehrwert multiplizieren.
3. 
   3
   Wisse, wie du mit negativen Zahlen umgehst. Häufig werden negative Zahlen oder Variablen eingesetzt. Du solltest dir noch einmal ansehen, wie man Negative addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, bevor du anfängst, Algebra zu lernen. Hier sind ein paar Grundregeln für das Rechnen mit Negativen. Sieh dir auch Artikel dazu an, wie man negative Zahlen addiert und subtrahiert sowie dividiert und multipliziert.

   • Auf einem Zahlenstrahl liegt eine negative Zahl in demselben Abstand von Null wie die positive, aber in die entgegengesetzte Richtung.
   • Eine negative Zahl plus eine negative Zahl wird ebenfalls eine negative Zahl ergeben. Zwei negative Zahlen miteinander zu addieren liefert eine mehr negative Zahl.
   • Zwei Minuszeichen heben sich gegenseitig auf. Eine negative Zahl zu subtrahieren ist dasselbe, wie eine positive Zahl zu addieren.
     • 4-(-3) ist dasselbe wie 4+3 = 7.
   • Zwei negative Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren bringt ein positives Ergebnis.
   • Eine positive Zahl und eine negative Zahl zu multiplizieren oder zu dividieren ergibt ein negatives Ergebnis.
   Werbeanzeige

Tipps

• Setze beim Lernen gute Gewohnheiten ein. Besuche den Unterricht, lies die vorgegebene Lektüre und mache die Hausaufgaben. Um Algebra zu verstehen braucht man Übung.
• Überprüfe stets deine Ergebnisse. Immer, wenn du eine Aufgabe abschließt, solltest du zurückgehen und nachsehen, ob deine Lösung die Gleichung wahr werden lässt.
• Arbeite mit deinem Lehrer zusammen. Wenn du Fragen oder Probleme hast, sprich mit deinem Lehrer. Manche Leute verstehen Algebra sehr schnell, andere brauchen einfach etwas mehr Zeit. Dein Lehrer könnte auch eine andere Art kennen, dir die Sachen zu erklären. Hole dir Hilfe, anstatt aufzugeben.
• Die Operratorrangfolge ermöglicht es in vielen Fällen, auf Klammern zu verzichten. Sie ist jedoch nicht auf bestimmte Rechenzeichen beschränkt, auch wenn man manchmal von „Punkt vor Strich“ spricht.

Werbeanzeige