Матриця повороту
Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.
В новій системі координат вектор переходить у вектор Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок
Цей зв'язок визначається матрицею повороту
Властивості
ред.- Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то
- отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
(обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
- Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
(детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
- Добутком матриць повороту є матриця повороту:
Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).
- Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
Матриця повороту на площині
ред.У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд
де — кут повороту проти годинникової стрілки.
Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,
.
Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:
,
.
Матриця повороту в тривимірному просторі
ред.- Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
- Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
- Матриця повороту відносно одиничного вектора
на кут
:
де
— матриця векторного добутку,
— тензорний добуток векторів (результатом є матриця).
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:
- перший — проектор на лінію вектора u,
- інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.
Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.
Матриця повороту в просторі Мінковського
ред.У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.
Дивись також
ред.Посилання
ред.- Weisstein, Eric W. Матриця повороту(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)