Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације тачака за угао θ око исходишта (односно ротација координатног система за угао -θ око координатног почетка) у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:
R = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.
R T = R − 1 , det R = 1 {\displaystyle R^{T}=R^{-1},\det R=1\,} .Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као SO(n ) .
Ротација у дводимензионалном простору уреди Ротација у тродимензионалном простору уреди
Три основне ротације око оси x , y и z дане су са:
R x ( θ ) = [ 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ ] R y ( θ ) = [ cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ ] R z ( θ ) = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}} Опште ротације за Ојлерове углове уреди
Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α , β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове ):
R z ( γ ) R x ( β ) R y ( α ) {\displaystyle R_{z}(\gamma )\,R_{x}(\beta )\,R_{y}(\alpha )\,\!} У случају ротације за углове γ {\displaystyle \;\gamma } , β {\displaystyle \;\beta } , α {\displaystyle \;\alpha } око оси Z, X, Z (Z, X, Z конвенција) добија се:
M ( α , β , γ ) = M z ( α ) ⋅ M x ( β ) ⋅ M z ( γ ) {\displaystyle M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{z}(\alpha )\cdot M_{x}(\beta )\cdot M_{z}(\gamma )} = ( cos α cos γ − sin α cos β sin γ − cos α sin γ − sin α cos β cos γ sin α sin β sin α cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin γ + cos α cos β cos γ − cos α sin β sin β sin γ sin β cos γ cos β ) {\displaystyle ={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}} Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група , познату као SO(n ) . Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:
s o ( n ) , {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n),\,\!} Лијева алгебра у тродимензионалном простору : s o ( 3 ) , {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),\,\!} има три генератора:
A x = [ 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ] , A y = [ 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 ] , A z = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle A_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.} Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:
[ A x , A y ] = A z , [ A z , A x ] = A y , [ A y , A z ] = A x . {\displaystyle [A_{\mathbf {x} },A_{\mathbf {y} }]=A_{\mathbf {z} },\quad [A_{\mathbf {z} },A_{\mathbf {x} }]=A_{\mathbf {y} },\quad [A_{\mathbf {y} },A_{\mathbf {z} }]=A_{\mathbf {x} }.} Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:
ω ~ = x A x + y A y + z A z = [ 0 − z y z 0 − x − y x 0 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\boldsymbol {\omega }}}&{}=xA_{\mathbf {x} }+yA_{\mathbf {y} }+zA_{\mathbf {z} }\\&{}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}