Ојлерова карактеристика

У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика.^[1] Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.^[2]^[3]^[4]^[5]

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији уреди

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму $\chi =T-I+P$ , где је T број темена фигуре, I број ивица а P број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет^[6] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати^[7], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).^[8] Уопштено, за правилан полиедар са n „рупа” важи да му је карактеристика 2(1-n) (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив	Конвексност	Број темена (T)	Број ивица (I)	Број пљосни (P)	Карактеристика
Тетраедар	конвексан	4	6	6	2
Хексаедар (коцка)	конвексан	8	12	6	2
Октаедар	конвексан	6	12	8	2
Додекаедар	конвексан	20	30	12	2
Икосаедар	конвексан	12	30	20	2
Тетрахемихексаедар	конкаван	6	12	7	1
Октахемиоктаедар	конкаван	12	24	12	0
Мали звездасти додекаедар	конкаван	12	30	12	-6
Велики звездасти додекаедар	конкаван	20	30	12	2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив	Конвексност	Карактеристика
Сфера	конвексан	2
Торус	конкаван	0
Дупли (дворупи) торус	конкаван	-2
Трорупи торус	конкаван	-4

Ојлерова карактеристика у теорији графова уреди

Ојлерова карактеристика планарног графа G у теорији графова је резултат $\chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')$ , где је V(G) скуп чворова графа G, E(G) скуп грана графа G, а f(G’) број области на које планарно утапање G’ графа G раздељује раван $ℝ \times ℝ$ својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема^[9]). У општем случају ће важити, за произвољан граф G, $\chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')=1+\omega (G)$ , где је ω(G) број компоненти повезаности графа G.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Број чворова G (\|V(G)\|)	Број грана G (\|E(G)\|)	Број области G (f(G'))	Број компоненти повезаности G (ω(G))	Карактеристика G	Напомена
6	6	2	1	2
12	18	8	1	2	Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).
21	27	10	3	4

Види још уреди

Референце уреди

^ Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. стр. 71. ISBN 978-3-319-72486-7. doi:10.1007/978-3-319-72487-4.
^ Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171.
^ Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982.
^ Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. CiteSeerX 10.1.1.716.3210  . doi:10.1137/130906556.
^ Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018.
^ „Euler's Formula”. Encyclopaedia Britannica.
^ „Computational Geometry” (PDF).
^ „Euler's Characteristic in Algebraic Topolgy”. San José State University. Архивирано из оригинала 25. 02. 2020. г. Приступљено 12. 02. 2020.
^ „Euler's Formula”.

Литература уреди

Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.
Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.
Bott, Raoul and Tu, Loring W. (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.
Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic Classes. Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.
Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, MR 1458063 .
Grünbaum, Branko (1994), „Polyhedra with hollow faces”, Ур.: Bisztriczky, Tibor; Schneider, Peter McMullen;Rolf; Weiss, A., Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., стр. 43—70, ISBN 978-94-010-4398-4, MR 1322057, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3 .
Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?” (PDF), Ур.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry. Algorithms and Combinatorics (PDF), Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, стр. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755  , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, Архивирано из оригинала (PDF) 03. 08. 2016. г., Приступљено 12. 02. 2020 .
Richeson, David S. (2008), Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, MR 2440945
Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
Grothendieck, Alexander (1957). „Sur quelques points d'algèbre homologique, I”. Tohoku Mathematical Journal. 9 (2): 119—221. doi:10.2748/tmj/1178244839.
Saunders Mac Lane, Homology. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, стр. 157, на сајту Гугл књиге)
M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1
Hovey, Mark (1999), Model categories, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1359-1
Quillen, Daniel (1967), Homotopical Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-03914-5
R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 5 (1954), 753–768.
R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.
R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227.
G. Janelidze and G. M. Kelly, Central extensions in Malt'sev varieties, Theory and Applications of Categories, vol. 7 (2000), 219–226.
P. J. Morandi, Group Extensions and H³. From his collection of short mathematical notes.
Buchsbaum, David A. (1955), „Exact categories and duality”, Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1—34, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6
Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row
Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
Popescu, Nicolae (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press
Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables”, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17—86, MR 0061823, S2CID 120243638, doi:10.1007/BF02566923 ^{[мртва веза]}

Спољашње везе уреди

Weisstein, Eric W. „Euler characteristic”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Polyhedral formula”. MathWorld.
Matveev, S.V. (2001) [1994], „Euler characteristic”, Ур.: Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Euler Characteristic of the Barycentric Subdivision of an n-Simplex. In math.stackexchange.
Euler characteristic constant under barycentric subdivision. In math.stackexchange.

[1] Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. стр. 71. ISBN 978-3-319-72486-7. doi:10.1007/978-3-319-72487-4.

[2] Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171.

[3] Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982.

[Pellikka2013-4] Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. CiteSeerX 10.1.1.716.3210  . doi:10.1137/130906556.

[Arnold2006-5] Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018.

[euleridentity-6] „Euler's Formula”. Encyclopaedia Britannica.

[triang-7] „Computational Geometry” (PDF).

[eulerproof-8] „Euler's Characteristic in Algebraic Topolgy”. San José State University. Архивирано из оригинала 25. 02. 2020. г. Приступљено 12. 02. 2020.

[eulergraph-9] „Euler's Formula”.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]