Característica d'Euler
En matemàtiques, i més específicament en topologia algebraica i combinatòria polièdrica, la característica d'Euler (o característica d'Euler-Poincaré) és una invariant topològica, un nombre que descriu la forma o estructura en l'espai topològic independentment de la manera en què un políedre es col·loqui o es plegui. Normalment es denota amb la lletra grega khi: .[1]
La característica d'Euler es va definir originàriament per a políedres i es va utilitzar per demostrar-ne diversos teoremes, incloent la classificació dels sòlids platònics. Leonhard Euler, que va ser qui va donar nom al concepte, va ser el responsable de gran part d'aquesta feina primerenca. En matemàtica moderna, la característica d'Euler sorgeix a partir de l'homologia i connecta amb moltes altres invariants.
En políedres modifica
La característica d'Euler 
on V, A, i C són respectivament el nombre de vèrtexs, arestes i cares en el políedre donat. Qualsevol políedre convex té característica d'Euler
Aquest resultat es coneix com a fórmula o relació d'Euler.
| Nom | Imatge | Vèrtexs V | Arestes A | Cares C | Característica d'Euler: V − A + C |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedre |  | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Hexaedre o cub |  | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Octaedre |  | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Dodecaedre |  | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Icosaedre |  | 12 | 30 | 20 | 2 |
Les superfícies de políedres no convexos poden tenir característiques d'Euler diferents:
| Nom | Imatge | Vèrtexs V | Arestes A | Cares C | Característica d'Euler: V − A + C |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetrahemihexaedre |  | 6 | 12 | 7 | 1 |
| Octahemioctaedre |  | 12 | 24 | 12 | 0 |
| Cubohemioctaedre |  | 12 | 24 | 10 | −2 |
| Gran icosaedre |  | 12 | 30 | 20 | 2 |
Referències modifica
- ↑ Vicenç Navarro i Pere Pascual. UB. Topologia algebraica, 1999.
- ↑ Armengol Gasull. «La característica d'Euler. La fórmula de Pick.». UAB.