Probabilità condizionata

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento ${\displaystyle A}$ ) ha probabilità ${\displaystyle P(A)=1/6}$ di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ${\displaystyle B}$ ), la probabilità di ${\displaystyle A}$ diventa

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}}={\frac {1/6+3/6-3/6}{3/6}}={\frac {1}{3}}.}$

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento ${\displaystyle A}$ ) ha probabilità ${\displaystyle P(A)=1/6}$ di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ${\displaystyle B}$ ), la probabilità di ${\displaystyle A}$ diventa

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}}={\frac {1/6+3/6-4/6}{3/6}}=0.}$

La probabilità di ${\displaystyle A}$ condizionata da ${\displaystyle B}$ è

${\displaystyle P(A|B)=P_{B}(A)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},}$

dove ${\displaystyle P(A\cap B)}$ è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ di misura ${\displaystyle P,}$ ogni evento ${\displaystyle B}$ eredita una struttura di spazio misurato ${\displaystyle (B,{\mathcal {A}}_{B},P)}$ , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in ${\displaystyle B,}$ ed induce una nuova misura ${\displaystyle P'_{B}(A)=P(A\cap B)}$ su ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ , con ${\displaystyle P'_{B}(\Omega )=P(B)}$ . Se ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ è uno spazio probabilizzato (${\displaystyle P(\Omega )=1}$ ) e ${\displaystyle B}$ non è trascurabile (${\displaystyle P(B)\neq 0}$ ), allora riscalando ${\displaystyle P'_{B}}$ a ${\displaystyle \textstyle P_{B}={\frac {1}{P(B)}}P'_{B}}$ si ottiene lo spazio probabilizzato ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P_{B})}$ delle probabilità condizionate da ${\displaystyle B.}$

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B).}$

Ossia, la probabilità che si verifichino sia ${\displaystyle A}$ sia ${\displaystyle B}$ è uguale alla probabilità che si verifichi ${\displaystyle B}$ moltiplicata per la probabilità che si verifichi ${\displaystyle A}$ supponendo che ${\displaystyle B}$ sia verificato.

Due eventi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti:

• ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B);}$
• ${\displaystyle P(A|B)=P(A);}$
• ${\displaystyle P(B|A)=P(B).}$

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato (anche detto complementare) si può usare la seguente formula:

${\displaystyle P(\neg A|B)=1-P(A|B).}$

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono eventi disgiunti, cioè se ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento ${\displaystyle A}$ implica l'evento ${\displaystyle B}$ , cioè se ${\displaystyle A\subset B}$ , allora la loro intersezione è ${\displaystyle A,}$ per cui ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)}$ e:

• ${\displaystyle P(B|A)={\frac {P(A)}{P(A)}}=1}$ (${\displaystyle A}$ implica ${\displaystyle B}$ );
• ${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)}{P(B)}}}$ (${\displaystyle B}$ è necessario per ${\displaystyle A}$ ).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per ${\displaystyle P(A|B)}$ esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli (${\displaystyle A}$ ) su casi possibili (${\displaystyle B}$ )".

Invece, per ${\displaystyle P(B|A)}$ otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Il valore atteso condizionato ${\displaystyle E[X|B]}$ di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ ad un evento ${\displaystyle B}$ è il valore atteso di ${\displaystyle X}$ calcolato sulle probabilità ${\displaystyle P_{B}}$ (cioè condizionate da ${\displaystyle B}$ ).

La probabilità di un evento ${\displaystyle A}$ può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta ${\displaystyle X,}$ originando una nuova variabile aleatoria, ${\displaystyle Y=P(A|X)}$ , che per ${\displaystyle X=x}$ assume il valore ${\displaystyle Y=P(A|x)}$ .

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica ${\displaystyle P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)}$ del teorema della probabilità composta come

${\displaystyle P(A|B)=P(B|A){\frac {P(A)}{P(B)}}.}$

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove ${\displaystyle P(A)}$ è detta "probabilità a priori di ${\displaystyle A}$ " e ${\displaystyle P(A|B)}$ "probabilità a posteriori di ${\displaystyle A}$ ".

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di ${\displaystyle P(A|B)}$ con ${\displaystyle P(A)}$ o con ${\displaystyle P(B|A).}$

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

• Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-1316794-6

• Probabilità congiunta
• Indipendenza (probabilità)
• Inferenza bayesiana
• Teorema di Bayes
• Teorema della probabilità composta
• Valore atteso condizionato

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla probabilità condizionata

• Probabilita condizionata, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Stephen Eldridge, conditional probability, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Probabilità condizionata, su MathWorld, Wolfram Research.

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