Funzione periodica

Una funzione ${\displaystyle f\colon A\to B}$ definita su un gruppo abeliano ${\displaystyle A}$ è periodica di periodo ${\displaystyle t}$ , con ${\displaystyle t\in A}$ , se ${\displaystyle f(a+t)=f(a)}$ per ogni ${\displaystyle a\in A}$ .

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale.Formalmente, una funzione reale ${\displaystyle f\colon A\to B}$ si dice periodica di periodo ${\displaystyle t}$ se esiste un numero reale ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ tale che:

• il dominio ${\displaystyle A}$ è invariante per traslazione di ${\displaystyle t}$ , ovvero ${\displaystyle A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A}$ ;
• la funzione ${\displaystyle f}$ è invariante per traslazione di ${\displaystyle t}$ , ovvero per ogni ${\displaystyle a\in A}$ si ha ${\displaystyle f(a+t)=f(a)}$ .

Moduli modifica

Se ${\displaystyle f}$ è periodica di periodo ${\displaystyle t_{1}}$ ed è periodica di periodo ${\displaystyle t_{2}}$ , allora è periodica di ogni periodo

${\displaystyle t\in t_{1}\mathbb {Z} +t_{2}\mathbb {Z} =\{mt_{1}+nt_{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$ .

L'insieme ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ dei periodi ${\displaystyle t}$ di ${\displaystyle f}$ è quindi uno ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -modulo.

• Se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=\{0\}}$ , ovvero se ${\displaystyle f}$ ha il solo periodo ${\displaystyle 0}$ , allora ${\displaystyle f}$ è detta aperiodica.
• Se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ è un modulo libero di dimensione ${\displaystyle 1}$ , ovvero se ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=t\mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle t>0}$ , ovvero se esiste un minimo tra i periodi ${\displaystyle t>0}$ , allora ${\displaystyle f}$ è detta periodica di periodo minimo ${\displaystyle t}$ , o periodica di periodo ${\displaystyle t}$ in senso stretto.
• Il modulo ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}}$ non è necessariamente libero di dimensione ${\displaystyle 0}$ o ${\displaystyle 1}$ , ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{f}=\mathbb {Q} }$ e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Domini limitati modifica

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio.Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo ${\displaystyle [0,1)}$ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon [0,1[&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x,\end{aligned}}}$

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x-[x].\end{aligned}}}$

Esempi modifica

• Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo ${\displaystyle 2\pi }$ .
• Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
  • ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$ e ${\displaystyle \cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}}$ , che hanno periodo minimo ${\displaystyle \pi }$ ;
  • ${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}$ e ${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}$ , che hanno periodo minimo ${\displaystyle 2\pi }$ .

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé, ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ;

è periodica rispetto a due periodi, ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} ^{\ast },\ \forall z\in \mathbb {C} \ f(z+\omega _{1})=f(z+\omega _{2})=f(z)}$ ;

questi due periodi sono "incommensurabili", ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}\not \in \mathbb {R} .}$

• Periodicità
• Ampiezza
• Frequenza
• Lunghezza d'onda
• Oscillazione
• Sviluppo in serie di Fourier
• Funzione ellittica
• Periodo (teoria dei numeri)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «funzione periodica»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione periodica

• (EN) periodic function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione periodica, su MathWorld, Wolfram Research.

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