Coefficiente binomiale
In matematica, il coefficiente binomiale (che si legge " su ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula
dove è il fattoriale di . Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di elementi di classe .
Per esempio:
è il numero di combinazioni di elementi presi alla volta, evitando ripetizioni ma indipendentemente dall'ordine di estrazione.
Proprietà
modificaIl coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:
- Dimostrazione formale:
- Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di
elementi di lunghezza
o
sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di
elementi.
- Dimostrazione formale:
- Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente
modi per scegliere un elemento tra
o per tralasciarne uno.
- Dimostrazione formale:
- Dimostrazione combinatoria: le scelte di
elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli
elementi tralasciati.
, ovvero:
- (proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. Inoltre, tale proprietà può essere utile per dimostrare che
è un numero intero non negativo usando il principio d'induzione su
, con l'ipotesi per cui
appartiene ai numeri interi non negativi per ogni
tale che
, e come tesi che lo stesso valga per
; per
abbiamo che
).
- Dimostrazione formale:
- considerando il fatto che
, ed allo stesso modo
- si ha
- e quindi
- ovvero la tesi.
- Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di
elementi di lunghezza
, scegliamo uno degli
elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.
- Dimostrazione formale:
- partendo dal teorema binomiale abbiamo:
- ovvero la tesi.
- Dimostrazione combinatoria:
è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di
elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità
sono proprio
, si ottiene subito la tesi.
Applicazioni
modifica- Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza
-esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
- Il numero di diagonali di un poligono convesso di
lati può essere espresso secondo la seguente formula:
- Dato un insieme
, tale che
, si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di
,
:
- La potenza
-esima di un numero intero
può essere espressa con la sommatoria di tutte le possibili produttorie di
coefficienti binomiali
, con
. Esempio:
Estensioni
modificaSi può estendere il coefficiente binomiale al caso in cui sia negativo, oppure maggiore di
, ponendo:
oppure
Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità in uno di cardinalità
(ovvero il numero delle disposizioni semplici di
oggetti di classe
) ed il numero delle permutazioni di
oggetti:
Si può porre:
ad esempio,
Con tale convenzione, si ha:
ad esempio:
Caso particolare
modificaSi può notare che per il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi
numeri naturali:
Bibliografia
modifica- Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
- Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
- Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.
- Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998
Voci correlate
modificaAltri progetti
modificaWikimedia Commons contiene immagini o altri file sul coefficiente binomiale
Collegamenti esterni
modifica- coefficiente binomiale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) binomial coefficients, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Opere riguardanti Binomial coefficients, su Open Library, Internet Archive.
- (EN) Eric W. Weisstein, Binomial Coefficient, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Binomial coefficients, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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