Թվաբանական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որն ունի հետևյալ տեսքը՝
a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d , … , a 1 + ( n − 1 ) d , … {\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots } ,այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն d {\displaystyle d} թիվը գումարելով՝
a n = a n − 1 + d {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad } Ցանկացած (n -րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝
a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է d > 0 {\displaystyle d>0} դեպքում և նվազում d < 0 {\displaystyle d<0} դեպքում։
Թվաբանական պրոգրեսիայի n -րդ անդամի բանաձևը՝
a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} , որտեղ a 1 {\displaystyle a_{1}} -ն առաջին անդամն է, իսկ d {\displaystyle d} -ն՝ նրա տարբերությունը։Առաջին n {\displaystyle n} անդամների գումարը խմբագրել
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n {\displaystyle n} անդամների գումարը S n = a 1 + a 2 + … + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}} կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
S n = a 1 + a n 2 ⋅ n {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} , որտեղ a 1 {\displaystyle a_{1}} -ը — պրոգրեսիայի առաջին անդամն է, a n {\displaystyle a_{n}} -ը — n {\displaystyle n} -րդ անդամը, n {\displaystyle n} -ը — գումարման ենթակա անդամների քանակը. S n = 2 a 1 + ( n − 1 ) d 2 ⋅ n {\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n} , որտեղ a 1 {\displaystyle a_{1}} -ը — առաջին անդամն է, d {\displaystyle d} -ն — պրոգրեսիայի տարբերությունը, n {\displaystyle n} — գումարման ենթակա անդամների քանակը.Ապացույց .
Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։ S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n − 2 + a n − 1 + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}
S n = a n + a n − 1 + a n − 2 + … + a 3 + a 2 + a 1 {\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}} - նույն գումարը հակառակ կարգով.
Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝
2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n − 1 ) + ( a 3 + a n − 2 ) + … + ( a n − 2 + a 3 ) + ( a n − 1 + a 2 ) + ( a n + a 1 ) {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}
Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝ a i + a n − i + 1 , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}
Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝
a i + a n − i + 1 = a 1 + ( i − 1 ) d + a 1 + ( n − i + 1 − 1 ) d = 2 a 1 + ( n − 1 ) d , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}
որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է 2 a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d} ։ Մասնավորապես, a 1 + a n = 2 a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d} ։
Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է n {\displaystyle n} , ուրեմն
2 S n = ( a 1 + a n ) ⋅ n ⇒ S n = a 1 + a n 2 ⋅ n {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}
Արտաքին հղումներ խմբագրել
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 9, էջ 433 )։