Как пользоваться теоремой косинусов

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Как найти неизвестную сторону

Как найти неизвестный угол

Примеры задач

Дополнительные статьи

Источники

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии. Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора, и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

Как найти неизвестную сторону

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, нужно знать две другие стороны и угол между ними.

   • Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?
2. 
   2
   Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$, где $c$ — неизвестная сторона, $\cos {C}$ — косинус угла, противоположного неизвестной стороне, $a$ и $b$ — две известные стороны.
3. 
   3
   Подставьте известные значения в формулу. Переменные $a$ и $b$ обозначают две известные стороны. Переменная $C$ — это известный угол, который лежит между сторонами $a$ и $b$.

   • В нашем примере сторона XZ неизвестна, поэтому в формуле она обозначена как $c$. Так как стороны YX и YZ известны, они обозначены переменными $a$ и $b$. Переменная $C$ — это угол Y. Итак, формула запишется следующим образом: $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)\cos {89}$.
4. 
   4
   Найдите косинус известного угла. Сделайте это с помощью калькулятора. Введите значение угла, а затем нажмите кнопку $COS$. Если у вас нет научного калькулятора, найдите онлайн-таблицу значений косинусов, например, здесь. Также в Яндексе можно ввести «косинус Х градусов» (вместо X подставьте значение угла), и поисковая система отобразит косинус угла.

   • Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0,01745)$.
5. 
   5
   Перемножьте числа. Умножьте $2ab$ на косинус известного угла.

   • Например:
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0,01745)$
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-1,5707$
6. 
   6
   Сложите квадраты известных сторон. Помните, чтобы возвести число в квадрат, его нужно умножить на само себя. Сначала возведите в квадрат соответствующие числа, а затем сложите полученные значения.

   • Например:
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-1,5707$
     $c^{2}=25+81-1,5707$
     $c^{2}=106-1,5707$
7. 
   7
   Вычтите два числа. Вы найдете $c^{2}$.

   • Например:
     $c^{2}=106-1,5707$
     $c^{2}=104,4293$
8. 
   8
   Извлеките квадратный корень из полученного значения. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Так вы найдете неизвестную сторону.

   • Например:
     $c^{2}=104,4293$
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {104,4293}}$
     $c=10,2191$
     Итак, неизвестная сторона равна 10,2191 см.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Как найти неизвестный угол

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестный угол треугольника, нужно знать все три стороны треугольника.

   • Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.
2. 
   2
   Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$, где $\cos {C}$ — косинус неизвестного угла, $c$ — известная сторона, противолежащая неизвестному углу, $a$ и $b$ — две другие известные стороны.
3. 
   3
   Найдите значения $$ a {\displaystyle a} , $$ b {\displaystyle b} и $$ c {\displaystyle c} . Затем подставьте их в формулу.

   • Например, сторона RT противоположна неизвестному углу S, поэтому сторона RT — это $c$ в формуле. Другие стороны будут $a$ и $b$. Итак, формула запишется следующим образом: $12^{2}=8^{2}+10^{2}-2(8)(10)\cos {C}$.
4. 
   4
   Перемножьте числа. Умножьте $2ab$ на косинус неизвестного угла.

   • Например, $12^{2}=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}$.
5. 
   5
   Возведите $$ c {\displaystyle c} в квадрат. То есть умножьте число само себя.

   • Например, $144=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}$
6. 
   6
   Сложите квадраты $$ a {\displaystyle a} и $$ b {\displaystyle b} . Но сначала возведите соответствующие числа в квадрат.

   • Например:
     $144=64+100-160\cos {C}$
     $144=164-160\cos {C}$
7. 
   7
   Изолируйте косинус неизвестного угла. Для этого вычтите сумму $a^{2}$ и $b^{2}$ из обеих частей уравнения. Затем разделите каждую часть уравнения на коэффициент (множитель) при косинусе неизвестного угла.

   • Например, чтобы изолировать косинус неизвестного угла, вычтите 164 из обеих сторон уравнения, а затем разделите каждую сторону на -160:
     $144-164=164-164-160\cos {C}$
     $-20=-160\cos {C}$
     ${\frac {-20}{-160}}={\frac {-160\cos {C}}{-160}}$
     $0,125=\cos {C}$
8. 
   8
   Вычислите арккосинус. Так вы найдете значение неизвестного угла. На калькуляторе функция арккосинуса обозначается $COS^{-1}$.

   • Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Примеры задач

Загрузить PDF

1. 
   1
   Найдите неизвестную сторону треугольника. Известные стороны равны 20 см и 17 см, а угол между ними равен 68°.

   • Так как даны две стороны и угол между ними, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • Неизвестная сторона — это $c$. Подставьте известные значения в формулу: $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}$.
   • Вычислите $c^{2}$, соблюдая порядок математических операций:
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}$
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)(0,3746)$
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-254,7325$
     $c^{2}=400+289-254,7325$
     $c^{2}=689-254,7325$
     $c^{2}=434,2675$
   • Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Так вы найдете неизвестную сторону:
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {434,2675}}$
     $c=20,8391$
     Итак, неизвестная сторона равна 20,8391 см.
2. 
   2
   Найдите угол H в треугольнике GHI. Две стороны, прилегающие к углу Н, равны 22 и 16 см. Сторона, противоположная углу H, равна 13 см.

   • Так как даны все три стороны, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • Сторона, противоположная неизвестному углу, — это $c$. Подставьте известные значения в формулу: $13^{2}=22^{2}+16^{2}-2(22)(16)\cos {C}$.
   • Упростите полученное выражение:
     $13^{2}=22^{2}+16^{2}-704\cos {C}$
     $13^{2}=484+256-704\cos {C}$
     $169=484+256-704\cos {C}$
     $169=740-704\cos {C}$
   • Изолируйте косинус:
     $169-740=740-740-704\cos {C}$
     $-571=-704\cos {C}$
     ${\frac {-571}{-704}}={\frac {-704\cos {C}}{-704}}$
     $0,8111=\cos {C}$
   • Найдите арккосинус. Так вы вычислите неизвестный угол:
     $0,8111=\cos {C}$
     $35,7985=COS^{-1}$.
     Таким образом, угол H равен 35,7985°.
3. 
   3
   Найдите длину тропы. Речная, Холмистая и Болотная тропы образуют треугольник. Длина Речной тропы — 3 км, длина Холмистой тропы — 5 км; эти тропы пересекаются друг с другом под углом 135°. Болотная тропа соединяет два конца других троп. Найдите длину Болотной тропы.

   • Тропы образуют треугольник. Нужно найти длину неизвестной тропы, которая представляет собой сторону треугольника. Так как даны длины двух других троп и угол между ними, можно использовать теорему косинусов.
   • Запишите формулу: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • Неизвестную тропу (Болотную) обозначим как $c$. Подставьте известные значения в формулу: $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}$.
   • Вычислите $c^{2}$:
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}$
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)(-0,7071)$
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-(-21,2132)$
     $c^{2}=9+25+21,2132$
     $c^{2}=55,2132$
   • Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Так вы найдете длину неизвестной тропы:
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {55,2132}}$
     $c=7,4306$
     Итак, длина Болотной тропы равна 7,4306 км.
   Реклама

Советы

• Проще пользоваться теоремой синусов. Поэтому сначала выясните, можно ли применить ее к данной задаче.

Реклама