Cómo usar el teorema del coseno

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En este artículo:

Encontrar la longitud de un lado faltante

Encontrar la medida de un ángulo faltante

Resolver problemas de ejemplo

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Referencias

El teorema del coseno es una regla que se utiliza con mucha frecuencia en trigonometría. Sirve para investigar las propiedades de un triángulo no rectángulo y permite encontrar información desconocida sobre esta figura como, por ejemplo, las longitudes de sus lados o la medida de sus ángulos. Su fórmula es similar a la del teorema de Pitágoras y relativamente fácil de recordar. El teorema del coseno establece que, en cualquier triángulo, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.

Pasos

Método 1

Método 1 de 3:

Encontrar la longitud de un lado faltante

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   Analiza los valores conocidos. Para encontrar la longitud del lado faltante de un triángulo, es necesario que conozcas la longitud de los otros dos lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos.

   • Por ejemplo, imagina que tienes un triángulo XYZ. Su lado YX mide 5 cm. Su lado YZ mide 9 cm. El ángulo Y mide 89 grados. ¿Cuánto mide el lado XZ?
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   Plantea la fórmula del teorema del coseno. Este teorema también se conoce como la "ley de los cosenos". La fórmula es $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$. Aquí, $c$ equivale a la longitud del lado faltante y $\cos {C}$ equivale al coseno del ángulo opuesto al lado faltante. Las variables $a$ y $b$ representan a las longitudes de los dos lados conocidos.
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   Reemplaza los valores conocidos en la fórmula. Las variables$a$ y $b$ representan a los dos lados conocidos. La variable $C$ representa al ángulo conocido, que es aquel comprendido entre los lados $a$ y $b$.

   • Por ejemplo, como la longitud del lado XZ es desconocida, en la fórmula esa longitud estará representada por la letra $c$. Como los lados YX y YZ son conocidos, estos dos lados serán $a$ y $b$. No importa cuál de las dos variables uses para representar a cada lado. La variable $C$ es el ángulo Y. Por lo tanto, ahora la fórmula deberá quedar así: $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)\cos {89}$.
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   Encuentra el coseno del ángulo conocido. Puedes hacerlo utilizando la función de coseno de tu calculadora. Simplemente ingresa la medida del ángulo y presiona el botón $COS$. Si no tienes una calculadora científica, puedes buscar una tabla de cosenos en línea, por ejemplo, la del sitio web "Physics Lab". También puedes escribir "coseno de x grados " en Google (sustituyendo x por la medida del ángulo) y ese buscador se encargará de buscar la respuesta por ti.

   • Por ejemplo, el coseno de 89 es aproximadamente 0,01745. Por lo tanto, reemplaza ese valor en la fórmula: $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0,01745)$.
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   Resuelve la multiplicación. Tienes que multiplicar $2ab$ por el coseno del ángulo conocido.

   • Por ejemplo:
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0,01745)$
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-1,5707$
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   Suma los cuadrados de los lados conocidos. Recuerda que, cuando elevas un número al cuadrado, lo que haces es multiplicarlo por sí mismo. Primero eleva los dos números al cuadrado y luego súmalos.

   • Por ejemplo:
     $c^{2}=5^{2}+9^{2}-1,5707$
     $c^{2}=25+81-1,5707$
     $c^{2}=106-1,5707$
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   Resta los dos valores. Esto te dará como resultado $c^{2}$.

   • Por ejemplo:
     $c^{2}=106-1,5707$
     $c^{2}=104,4293$
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   Calcula la raíz cuadrada de la diferencia. En este paso probablemente tendrás que usar una calculadora ya que el número cuya raíz cuadrada tienes que calcular tendrá muchos decimales. La raíz cuadrada equivale a la longitud del lado faltante del triángulo.

   • Por ejemplo:
     $c^{2}=104,4293$
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {104,4293}}$
     $c=10,2191$
     Por lo tanto, la longitud del lado faltante, $c$, es igual a 10,2191 cm.
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Método 2

Método 2 de 3:

Encontrar la medida de un ángulo faltante

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   Analiza los datos conocidos. Para encontrar el ángulo faltante de un triángulo a través de la regla del coseno, deberás conocer la longitud de los tres lados del triángulo.

   • Por ejemplo, imagina que tienes el triángulo RST. El lado SR mide 8 cm. El lado ST mide 10 cm. El lado RT mide 12 cm. ¿Cuál es la medida del ángulo S?
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   Plantea la fórmula del teorema del coseno. La fórmula es $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$. Aquí $\cos {C}$, equivale al coseno del ángulo que quieres encontrar. La variable $c$ equivale al lado opuesto del ángulo faltante. Las variables $a$ y $b$ representan a las longitudes de los otros dos lados.
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   Determina los valores de $$ a {\displaystyle a} , $$ b {\displaystyle b} y $$ c {\displaystyle c} . Reemplaza estos valores en la fórmula.

   • Por ejemplo, como el lado RT es opuesto al ángulo faltante, el ángulo S, el lado RT será $c$ en la fórmula. Las longitudes de los otros dos lados estarán representadas por las letras $a$ y $b$. No importa cuál de las dos variables uses para representar a cada lado. La fórmula deberá quedar así: $12^{2}=8^{2}+10^{2}-2(8)(10)\cos {C}$.
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   Resuelve la multiplicación. Tienes que multiplicar $2ab$ el coseno del ángulo faltante. Como no conoces su valor, por ahora debes dejar la variable.

   • Por ejemplo, $12^{2}=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}$.
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   Eleva $$ c {\displaystyle c} al cuadrado. Recuerda que elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.

   • Por ejemplo, $144=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}$
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   Suma los cuadrados de $$ a {\displaystyle a} y $$ b {\displaystyle b} . Asegúrate de elevar primero los números al cuadrado y después sumarlos.

   • Por ejemplo:
     $144=64+100-160\cos {C}$
     $144=164-160\cos {C}$
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   Aísla el coseno del ángulo faltante. Para hacerlo, resta la suma de $a^{2}$ y $b^{2}$ en ambos lados de la ecuación. Luego divide cada lado de la ecuación por el coeficiente del coseno del ángulo faltante.

   • Por ejemplo, para aislar el coseno del ángulo faltante, resta 164 en ambos lados de la ecuación y luego divide los dos lados por -160:
     $144-164=164-164-160\cos {C}$
     $-20=-160\cos {C}$
     ${\frac {-20}{-160}}={\frac {-160\cos {C}}{-160}}$
     $0,125=\cos {C}$
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   Calcula la inversa del coseno. Así obtendrás la medida del ángulo faltante. En una calculadora, la tecla de la inversa del coseno es la que dice $COS^{-1}$.

   • Por ejemplo, la inversa del coseno de 0,125 es 82,8192. Por lo tanto, el ángulo faltante, es decir el ángulo S, mide 82,8192 grados.
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolver problemas de ejemplo

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   Encuentra la longitud de un lado faltante de un triángulo. Las longitudes de los dos lados conocidos son 20 y 17 cm. El ángulo comprendido entre ellos mide 68 grados.

   • Como ya conoces la longitud de dos de sus lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos, puedes aplicar el teorema del coseno. Plantea la fórmula: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • La longitud del lado faltante estará representada por la letra $c$. Reemplaza los otros valores en la formula: $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}$.
   • Calcula $c^{2}$respetando el orden de prioridad de las operaciones:
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}$
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)(0,3746)$
     $c^{2}=20^{2}+17^{2}-254,7325$
     $c^{2}=400+289-254,7325$
     $c^{2}=689-254,7325$
     $c^{2}=434,2675$
   • Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Esto te dará como resultado la longitud del lado faltante:
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {434,2675}}$
     $c=20,8391$
     Por lo tanto, la longitud del lado faltante es de 20,8391 cm.
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   Encuentra el ángulo H en el triángulo GHI. Los dos lados adyacentes al ángulo H miden 22 y 16 cm. El lado opuesto al ángulo H mide 13 centímetros.

   • Como ya tienes la longitud de los tres lados, puedes aplicar el teorema del coseno. Plantea la fórmula: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • El lado opuesto al ángulo faltante es $c$. Reemplaza todos los valores en la fórmula: $13^{2}=22^{2}+16^{2}-2(22)(16)\cos {C}$.
   • Simplifica la expresión respetando el orden de prioridad de las operaciones:
     $13^{2}=22^{2}+16^{2}-704\cos {C}$
     $13^{2}=484+256-704\cos {C}$
     $169=484+256-704\cos {C}$
     $169=740-704\cos {C}$
   • Aísla el coseno:
     $169-740=740-740-704\cos {C}$
     $-571=-704\cos {C}$
     ${\frac {-571}{-704}}={\frac {-704\cos {C}}{-704}}$
     $0,8111=\cos {C}$
   • Encuentra la inversa del coseno. El resultado será el ángulo faltante:
     $0,8111=\cos {C}$
     $35,7985=COS^{-1}$.
     Por lo tanto, el ángulo H mide aproximadamente 35,7985 grados.
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   Encuentra la longitud del camino faltante. Los caminos de Duna, Tico y Bogo forman un triángulo. El camino de Duna tiene 3 kilómetros. El camino de Tico tiene 5 kilómetros. Los caminos de Duna y Tico se unen en el extremo norte formando un ángulo de 135 grados. El camino de Bogo se conecta con los extremos de los otros dos caminos. ¿Cuál es la longitud del camino de Bogo?

   • Los caminos forman un triángulo y te piden que encuentres la longitud del camino faltante, que es como un lado de un triángulo. Como ya conoces la longitud de los otros caminos y sabes que se unen formando un ángulo de 135 grados, puedes aplicar el teorema del coseno.
   • Plantea la fórmula: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$.
   • La longitud del camino faltante (Bogo) es $c$. Reemplaza los otros valores en la fórmula: $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}$.
   • Calcula $c^{2}$ respetando el orden de prioridad de las operaciones:
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}$
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)(-0,7071)$
     $c^{2}=3^{2}+5^{2}-(-21,2132)$
     $c^{2}=9+25+21,2132$
     $c^{2}=55,2132$
   • Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Esto te dará como resultado la longitud del lado faltante:
     ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {55,2132}}$
     $c=7,4306$
     Por lo tanto, el camino de Bogo tiene 7,4306 kilómetros de longitud.
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Consejos

• La aplicación del teorema del seno es más sencilla. Es mejor comprobar si se puede aplicar ese otro teorema primero.

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