Как получить «пятерку» по геометрии

Геометрия — это наука о фигурах и углах, она может оказаться сложной для многих учащихся. При первом ознакомлении многие идеи геометрии кажутся абсолютно новыми, что может вызвать замешательство. Для геометрии характерно большое количество аксиом, теорем, определений и символов, которые необходимо выучить, прежде чем у вас начнет формироваться стройная картина. Тем не менее правильные привычки в учебе и несколько полезных правил помогут вам преуспеть в изучении геометрии.

Часть 1

Часть 1 из 3:

Как получать высокие оценки

Загрузить PDF

1
Посещайте все занятия. В классе вы сможете усвоить новый материал и закрепить то, что изучали на предыдущих уроках. Если вы не будете посещать занятия, вам будет намного сложнее вовремя усваивать весь изучаемый материал.
- Задавайте на уроках вопросы. Учитель присутствует в классе для того, чтобы помочь вам как следует разобраться в изучаемом материале. Если у вас возник какой-либо вопрос, не стесняйтесь задать его. Возможно, некоторых присутствующих интересует тот же вопрос.
- Готовьтесь к занятиям: заранее читайте соответствующие разделы и разбирайтесь в формулах, теоремах и аксиомах.
- Внимательно слушайте учителя во время уроков. У вас будет время поговорить с одноклассниками на перемене или после занятий.
2
Рисуйте схемы. Геометрия изучает фигуры и углы.^{[1]XИсточник информации} Чтобы легче понять материал, представьте задачу, а затем нарисуйте схему или чертеж. Если речь идет об углах, нарисуйте их. Например, свойства вертикальных углов намного легче понять с помощью рисунка. Если в задаче не приведен рисунок, сделайте его самостоятельно.
- Чтобы продвинуться в изучении геометрии и понять свойства фигур, представляйте их на схемах и рисунках.
- Потренируйтесь распознавать фигуры в различных ориентациях на основании их геометрических свойств (величин углов, количества параллельных и перпендикулярных линий и тому подобного).
3
Организуйте учебную группу. Объединитесь с некоторыми другими одноклассниками в группу — это хороший способ изучить новую информацию и выяснить неясные моменты. Регулярно собирайтесь вместе, чтобы вовремя усваивать пройденный материал и как можно лучше понимать его. Совместные занятия с одноклассниками помогут вам, когда вы перейдете к изучению более сложных разделов. Вы сможете вместе прорабатывать их.
- Скорее всего, кто-нибудь из ваших одноклассников понимает то, в чем вы не разобрались, и поможет вам. Вы также сможете объяснить своим друзьям какой-то материал и при этом лучше усвоите его сами.
4
Научитесь пользоваться транспортиром. Транспортир представляет собой полукруглый инструмент для измерения углов. Кроме того, с его помощью можно чертить углы. Узнайте, как пользоваться транспортиром — это необходимый навык при изучении геометрии. Чтобы измерить угол, поступите следующим образом:
- совместите центральное отверстие транспортира с вершиной (острием) угла;
- покрутите транспортир до тех пор, пока его основание (прямая часть) не совпадет с одной из сторон угла;
- продолжите вторую сторону угла до дуги транспортира и запишите угол, при котором они пересекаются. Это будет величина измеряемого угла.
5
Выполняйте все домашние задания. Домашняя работа помогает как следует закрепить пройденный материал. Если вы будете выполнять домашние задания, то действительно поймете то, что изучали в классе и узнаете, каким разделам следует уделить больше внимания.
- Во время домашней работы вы сможете неспешно повторить пройденный материал и обратить особое внимание на трудные моменты, чтобы лучше понять их. Если у вас возникнут вопросы, попросите о помощи одноклассников или учителя.
6
Объясняйте пройденный материал кому-то другому. Если вы как следует усвоите какую-то тему или идею, то сможете рассказать о ней непосвященному человеку. Если же вы не в состоянии ясно объяснить материал, так чтобы другой человек понял его, возможно, вы недостаточно усвоили его сами. Кроме того, когда вы объясняете какой-либо вопрос, то лучше запоминаете его.^{[2]XИсточник информации}
- Попробуйте обучать геометрии своего брата, сестру или одного из родителей.
- Объясняйте в учебной группе темы, в которых вы хорошо разобрались.
7
Решайте побольше задач. Геометрия — это не только область знаний, но и своего рода искусство. Простого изучения правил и теорем геометрии недостаточно для того, чтобы получить высокую оценку, для этого необходимо уметь решать задачи. Решайте все задачи, которые учитель задает на дом, а также дополнительные задачи по темам, которые трудно даются.
- Старайтесь решать как можно больше задач из других источников. Помните о том, что схожие задачи могут по-разному формулироваться.
- Чем больше задач вы решите, тем легче сможете решать их в будущем.
8
Поищите дополнительную помощь. Иногда посещений занятий и общения с учителем бывает недостаточно. Не исключено, что вам потребуется репетитор, который сможет уделить больше внимания трудным для вас темам. Индивидуальные занятия очень полезны при изучении сложного материала.
- Спросите у своего учителя, нет ли у него знакомых репетиторов.
- Посещайте дополнительные занятия и спрашивайте о том, что вы не до конца поняли.
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 3:

Изучите геометрические понятия и идеи

Загрузить PDF

1
Запомните пять аксиом евклидовой геометрии. Геометрия основывается на системе постулатов, или аксиом, которые были собраны вместе древнегреческим математиком Евклидом.^{[3]XИсточник информации} Знание и понимание этих аксиом поможет вам усвоить множество различных идей и концепций.
- 1. Между любыми двумя точками можно провести прямую линию.
- 2. Ограниченный прямой отрезок можно бесконечно продолжать по прямой.
- 3. Из всякого центра любым размахом циркуля может быть описан круг, причем размах циркуля будет составлять его радиус.
- 4. Все прямые углы равны между собой.
- 5. Если даны прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
2
Изучите используемые в геометрии символы. Когда вы приступите к изучению геометрии, вам покажется, что в ней используется слишком большое количество символов. Однако со временем вы с легкостью сможете распознавать их, что облегчит дальнейшую учебу. Ниже перечислены некоторые из символов, которые наиболее часто используются в геометрии:^{[4]XИсточник информации}
- небольшой треугольник обозначает треугольник;
- небольшой угол обозначает угол;
- буквы с линией над ними обозначают конечный отрезок;
- буквы с линией над ними, которая с обеих сторон заканчивается стрелками, обозначают прямую линию;
- горизонтальный отрезок и проведенный из его центра вертикальный отрезок обозначают две взаимно перпендикулярные прямые линии;
- два вертикальных отрезка обозначают две взаимно параллельные линии;
- знак равенства с волнистой линией поверх него означает, что две фигуры конгруэнтны;
- волнистая линия означает, что две фигуры подобны;
- три точки в форме треугольника означают “следовательно”.
3
Изучите свойства прямых линий. Прямая линия продолжается бесконечно в обоих направлениях. На концах такой линии ставятся стрелки, чтобы обозначить, что линию можно продолжить дальше. Отрезок имеет начало и конец. Еще один вид прямых линий называется лучом: луч имеет только начало и бесконечно продолжается во втором направлении. Прямые линии, отрезки и лучи могут быть параллельными, перпендикулярными или пересекающимися.^{[5]XИсточник информации}
- Параллельные линии никогда не пересекаются друг с другом.
- Перпендикулярными называются линии, которые пересекаются под углом 90°.
- Пересекающимися называются линии, которые пересекаются друг с другом. Пересекающиеся линии могут быть перпендикулярными, но они никогда не могут быть параллельны друг другу.
4
Узнайте о разных видах углов. Существует три типа углов: тупые, острые и прямые. Тупыми называются углы, величина которых превышает 90°. Величина острых углов меньше 90°, а прямые углы в точности равны 90°.^{[6]XИсточник информации} При изучении геометрии необходимо знать разницу между различными видами углов.
- Угол 90° называют также прямым, или говорят, что образующие его линии пересекаются под прямым углом.
5
Изучите теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, a² + b² = c².^{[7]XИсточник информации} Это соотношение позволяет рассчитать длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длины двух других сторон. Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90°. В приведенной выше формуле a и b обозначают две прилежащие к прямому углу стороны (катеты), а c соответствует противолежащей стороне (гипотенузе).
- Предположим, необходимо найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если даны длины катетов a = 2 и b =3.
- a² + b² = c²
- 2² + 3² = c²
- 4 + 9 = c²
- 13 = c²
- c = √13
- c = 3,6
6
Научитесь распознавать типы треугольников. Треугольники бывают трех видов: разносторонние, равнобедренные и равносторонние. У разностороннего треугольника нет конгруэнтных (равных) сторон или углов. В равнобедренных треугольниках конгруэнтны по крайней мере две стороны и два угла. Равносторонний треугольник имеет три равных стороны и три равных угла. Зная различные типы треугольников, вы сможете определять их свойства и правильно использовать аксиомы и теоремы.^{[8]XИсточник информации}
- Помните, что равносторонний треугольник обязательно является и равнобедренным, поскольку в нем есть две равных стороны. Все равносторонние треугольники являются равнобедренными, однако не все равнобедренные треугольники являются равносторонними.
- Треугольники можно классифицировать по их углам: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. В остроугольных треугольниках каждый из трех углов меньше 90°; в прямоугольных треугольниках один из углов равен 90°; в тупоугольных треугольниках величина одного из углов превышает 90°.
7
Узнайте о разнице между подобными и конгруэнтными фигурами. Фигуры называются подобными, если их соответствующие углы равны, а стороны одной фигуры пропорционально больше или меньше, чем соответствующие стороны второй фигуры. Иными словами, один многоугольник может иметь такие же углы, что и второй, но длина его сторон будет другой. Конгруэнтные фигуры идентичны, их соответствующие стороны и углы равны.^{[9]XИсточник информации}
- Соответствующими углами называются равные углы в двух фигурах. Например, два прямоугольных треугольника имеют соответствующие прямые углы. Чтобы фигуры имели соответствующие углы, их стороны не обязательно должны быть равными.
8
Изучите понятия дополнительных и смежных углов. Дополнительными углами называются такие углы, сумма которых составляет 90 градусов. Сумма смежных углов составляет 180 градусов. Помните, что вертикальные углы всегда конгруэнтны. Схожим образом, внутренний накрест лежащий и внешний накрест лежащий углы также всегда конгруэнтны. Прямые углы равны 90 градусов, а развернутые — 180 градусов.
- Вертикальные углы — эта пара углов с общей вершиной, которые образованы двумя пересекающимися прямыми, причем стороны одного угла являются продолжением сторон другого.^{[10]XИсточник информации}
- Внутренние накрест лежащие углы образуются в том случае, когда две прямые линии пересекают третью. Они находятся на противоположных сторонах пересекаемой линии, но с внутренней стороны двух пересекающих ее линий.^{[11]XИсточник информации}
- Внешние накрест лежащие углы также образуются, когда две прямые линии пересекают третью. Они находятся на противоположных сторонах пересекаемой линии и с внешней стороны двух пересекающих ее линий.^{[12]XИсточник информации}
9
Запомните формулы для синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике. Синус, косинус и тангенс угла можно определить по следующим формулам: Синус = Противолежащий катет/Гипотенуза, Косинус = Прилежащий катет/Гипотенуза, Тангенс = Противолежащий катет/Прилежащий катет.^{[13]XИсточник информации}
- Предположим, необходимо найти синус, косинус и тангенс угла 39° в прямоугольном треугольнике со сторонами AB = 3, BC = 5 и AC = 4.
- sin(39°) = противолежащий катет/гипотенуза = 3/5 = 0,6
- cos(39°) = прилежащий катет/гипотенуза = 4/5 = 0,8
- tg(39°) = противолежащий катет/прилежащий катет = 3/4 = 0,75
Реклама

Часть 3

Часть 3 из 3:

Записывайте доказательства в 2 колонки

Загрузить PDF

1
После того, как вы прочитаете условие задачи, сделайте чертеж. Иногда задача не сопровождается рисунком, и в этом случае следует сделать чертеж, чтобы лучше понять условие. Сначала можно сделать примерный эскиз, а затем нарисовать более точный чертеж, который более или менее правильно отображает все линии и углы.
- Ясно укажите на рисунке все, что дано в задаче и что требуется найти.
- Чем понятнее получится рисунок, тем легче вам будет решить задачу.
2
Рассмотрите получившийся рисунок. Обозначьте на нем прямые углы и равные отрезки. Если есть параллельные линии, также обозначьте их на чертеже. Если в условии не указано явно, что два отрезка равны, можно ли доказать это? Не забывайте доказывать все свои предположения.
- Запишите соотношения между длинами различных отрезков и величинами углов, которые можно получить из сделанного рисунка и ваших предположений.
- Запишите, что дано в задаче. Условие любой задачи по геометрии содержит исходные данные. Запишите все исходные данные, чтобы иметь их перед глазами при решении задачи.
3
Попробуйте при доказательстве двигаться в обратном направлении. В задачах по геометрии приводятся какие-то исходные данные, и на их основании необходимо доказать определенные утверждения о свойствах фигур и углов. Иногда наиболее простой способ заключается в том, чтобы начать решать задачу с конца.
- Подумайте, каким образом исходные данные могут привести к конечному результату?
- Есть ли очевидные предположения, доказательство которых позволяет получить конечный результат?
в одну колонку записывайте утверждения, а во вторую — их обоснования. Чтобы получить строгое доказательство, необходимо сделать ряд промежуточных предположений и доказать их истинность. Ниже колонки с предположениями вы запишете конечное утверждение, например, угол ABC = углу DEF. Колонка обоснований будет содержать доказательства соответствующих утверждений и предположений. Если какое-то утверждение дано в условии задачи, просто напишите в соответствующей ячейке колонки обоснований “дано”, в противном случае запишите доказательство данного утверждения (например, укажите использованную теорему).
5
Определите, какие теоремы подходят для решения данной задачи. В геометрии существует масса отдельных теорем, которые можно использовать при решении задач. В этих теоремах доказываются различные свойства треугольников, пересекающихся и параллельных линий, окружностей и так далее. Определите, с какими геометрическими фигурами вы имеете дело в данной задаче, и найдите подходящие теоремы. Посмотрите, не решали ли вы подобные задачи ранее. Для треугольников есть множество теорем, и среди них наиболее важными являются следующие:^{[14]XИсточник информации}
- соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны между собой;
- если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны;
- если два треугольника имеют две равные стороны и угол между ними, то эти треугольники конгруэнтны;
- если одна сторона одного треугольника и два прилежащих к ней угла равны соответствующим стороне и двум углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны;
- треугольники с тремя равными углами подобны, но не обязательно конгруэнтны.
6
На пути к конечному результату не пропускайте промежуточные шаги. Запишите краткую схему доказательства. Напишите обоснование для каждого шага. При этом добавляйте приведенные в условии данные там, где они используются, а не пишите их все в начале таблицы. Если необходимо, поменяйте шаги местами.
- Чем подробнее вы запишете доказательство, тем легче вам будет разместить отдельные шаги в правильном порядке.
Хотя последний шаг должен завершать доказательство, его также следует обосновать. Когда вы завершите доказательство, просмотрите его еще раз и убедитесь в том, что в нем нет пробелов. Удостоверьтесь, что ваше решение правильно, после чего запишите в нижней правой ячейке “что и требовалось доказать”. Таким образом вы укажете, что задача решена.
Реклама

Советы

УЧИТЕСЬ КАЖДЫЙ ДЕНЬ. Просматривайте свои записи за текущий и предыдущий дни и всегда повторяйте пройденный материал, пока вы не забыли изученные накануне аксиомы, теоремы, определения, символы и обозначения.
Если вы чего-то не понимаете, поищите дополнительную информацию и учебные ролики в интернете.
Заведите карточки и записывайте на них формулы. Почаще просматривайте карточки, чтобы запомнить изученные формулы.
Запишите номера мобильных телефонов и адреса электронной почты своих одноклассников, чтобы в случае необходимости вы могли обратиться к ним за помощью.
Занимайтесь на летних каникулах. Это облегчит вашу работу в течение учебного года.
Медитируйте. Это помогает.