Como Determinar a Equação da Reta Perpendicular

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Trabalhando com um ponto e uma equação

Calculando uma reta perpendicular usando três pontos

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Referências

Determinar a equação de uma reta perpendicular a outra é um processo simples que pode ser completado de duas formas diferentes. A primeira delas é resolver a equação da reta com um ponto $\left(x,y\right)$ e a equação da reta que passa por ela perpendicularmente. A segunda forma é usar dois pontos de uma reta e um ponto de uma reta perpendicular. Se uma reta avança em sentido perpendicular com relação à outra, isso quer dizer que ambas se cruzam formando um ângulo reto. A equação para a reta no gráfico é $y=mx+b$. Aqui, $y$ representa a reta, $x$ representa a inclinação da reta multiplicada por $m$ e $b$ é o ponto de interseção em $y$ no gráfico.

Passos

Método 1

Método 1 de 2:

Trabalhando com um ponto e uma equação

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   Simplifique a equação da reta. Se você tem a equação da reta e um ponto em comum e o enunciado pede que passe por ela uma reta perpendicular, é importante antes converter a equação para o formato $y=mx+b$. Para isso, você deve começar isolando o $y$.

   • Suponha, por exemplo, que a sua equação seja $5y-x=10$.
   • Para isolar $y$, primeiramente passe $-x$ para o lado oposto da equação somando-o a ambos os lados a fim de obter $5y=x+10$.
   • Elimine o $5$ em $5y$ dividindo ambos os lados da equação por $5$.
   • A nova equação será $y={\frac {1}{5}}x+2$.
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   Calcule a recíproca oposta da inclinação. Quando uma reta é perpendicular a outra, a inclinação será a negativa oposta da reta original, chamada de recíproca oposta. As retas se cruzam em um ângulo reto, de modo que as inclinações devem ser opostas entre si. Duas retas perpendiculares multiplicadas entre si será sempre igual a $-1$.

   • Lembre-se de que $m$ representa a inclinação da reta.
   • A recíproca oposta da equação $y={\frac {1}{5}}x+2$ seria $-{\frac {5}{1}}x$, ou $-5$.
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   Insira o ponto na equação da inclinação da reta para chegar à interseção em $$ y {\displaystyle y} . Agora que já conhece a inclinação da reta perpendicular, você pode inserir o valor da inclinação e do ponto dado na respectiva equação. Isto trará como resultado o valor da interseção em $y$. Usando a interseção em $y$, você pode prosseguir e completar a equação da inclinação.

   • Lembre-se de que $b$ representa a interseção em $y$ da reta.
   • Suponha, por exemplo, que o ponto dado seja $\left(8,2\right)$, onde $8$ representa a coordenada $x$ e $2$ representa a coordenada $y$.
   • Substitua as letras $y=mx+b$ com os valores conhecidos de inclinação e coordenadas $xy$: $2=-5\left(8\right)+b$.
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   Determine a interseção em $$ y {\displaystyle y} da equação. Quando houver inserido os valores na equação da interseção, é hora de isolar $b$, ou a interseção em $y$. Para isolar $b$, você deve mover todos os números de um dos lados da equação para o outro. Depois de determinar a interseção em $y$, você conhecerá o valor de todos os números necessários para escrever a equação da reta perpendicular.

   • Para isolar $b$ na equação $2=-40+b$, some $40$ a ambos os lados.
   • A equação da interseção em $y$ da reta perpendicular será $42=b$.
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   Use os valores da inclinação e da interseção em $$ y {\displaystyle y} para formar a sua equação. Ao saber quais são os valores da inclinação e da interseção em $y$ da reta, basta apenas recolocar os números na equação da inclinação $y=mx+b$. Substitua o $m$ com a inclinação calculada e o $b$ com a interseção em $y$ que encontrou.

   • A equação da reta perpendicular será $y=-5x+42$.
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Método 2

Método 2 de 2:

Calculando uma reta perpendicular usando três pontos

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   Entenda as coordenadas obtidas. Se você tem três coordenadas de duas retas perpendiculares, não é possível usar a todas nas mesmas equações. As primeiras duas coordenadas serão usadas em uma reta e a terceira será usada assim que começar o cálculo da equação da reta perpendicular. O objetivo é encontrar duas equações $y=mx+b$ perpendiculares.

   • Como exemplo, o enunciado pode pedir a você que encontre as coordenadas que passam por $\left(6,1\right)$ com base em uma reta que passa por $\left(4,6\right)$ e $\left(2,3\right)$.
   • Concentre-se por ora em $\left(4,6\right)$ e $\left(2,3\right)$.
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   Insira na equação da inclinação os valores dos pontos da reta original. Você pode usar dois pontos separados de uma reta para determinar a equação de uma reta que a cruza perpendicularmente. Antes do cálculo da equação da reta perpendicular, você precisará antes calcular a inclinação da reta que cruza os dois pontos. A fórmula para determinar a inclinação de uma reta com dois pontos é $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.

   • Se os pontos são $\left(4,6\right)$ e $\left(2,3\right)$, a inclinação seria $m={\frac {3-6}{2-4}}$.
   • $m={\frac {3-6}{2-4}}$ pode ser simplificado para ${\frac {-3}{-2}}$, que é igual a ${\frac {3}{2}}$.
   • A inclinação da reta pode ser representada por ${\frac {3}{2}}x$.
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   Combine os dois pontos com a inclinação em uma equação. Depois de saber o valor da inclinação $m$, você pode usá-lo para determinar a equação da reta combinando-o com os valores $x$ e $y$ — a escolha não importa. A fórmula é $y_{2}-y_{1}=m\left(x_{2}-x_{1}\right)$.

   • Com os pontos $\left(4,6\right)$, a equação ficaria expressa como $y-6={\frac {3}{2}}\times \left(x-4\right)$.
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   Simplifique a equação para determinar $$ y {\displaystyle y} . Depois de ter colocado o ponto escolhido e a inclinação na equação, chegou o momento de simplificá-la a fim de obter a equação de uma reta. Depois de saber seu valor, você conseguirá determinar a equação da reta que a cruza perpendicularmente.

   • Para simplificar $y-6={\frac {3}{2}}\times \left(x-4\right)$, primeiramente multiplique todos os números entre parênteses pelo valor externo a fim de chegar em $y-6={\frac {3}{2}}x-6$.
   • Isole a variável $y$ em um lado da equação somando $6$ a ambos os lados para obter $y={\frac {3}{2}}x+0$. Essa é a equação da primeira reta.
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   Determine a inclinação da reta perpendicular usando a recíproca oposta. Uma reta perpendicular a outra terá sempre uma inclinação oposta. Se a inclinação da reta original é representada por um número inteiro positivo, a inclinação da reta perpendicular será representada por uma fração negativa. Duas inclinações perpendiculares multiplicadas entre si serão sempre iguais a $-1$.

   • A recíproca oposta de ${\frac {3}{2}}x$ é $-{\frac {2}{3}}x$.
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   Encontre a reta perpendicular da equação. Use os valores da inclinação e do terceiro ponto para determinar a equação da reta perpendicular. Agora você já sabe que a equação da reta perpendicular começa com $y=-{\frac {2}{3}}x$, mas ainda não sabe qual é o valor da interseção em $y$. Ao inserir o ponto conhecido novamente em $y_{2}-y_{1}=m\left(x_{2}-x_{1}\right)$ e somar o valor conhecido de $m$, você chegará à sua resposta.

   • Usando as coordenadas $\left(6,1\right)$ da reta perpendicular, preencha a equação: $y-1=-{\frac {2}{3}}\left(x-6\right)$.
   • Simplifique a equação para que se torne $y-1=-{\frac {2}{3}}x-6$.
   • Isole o $y$ somando $1$ a ambos os lados.
   • A equação agora está expressa como $y=-{\frac {2}{3}}x-5$. Essa é a equação final da reta perpendicular.
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