Cómo hallar la ecuación de una línea perpendicular

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En este artículo:

Resolver con un punto y una ecuación

Calcular una línea perpendicular con tres puntos

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Referencias

Hallar la ecuación de una línea perpendicular a otra es un proceso sencillo y puede resolverse de dos maneras. La primera consiste en utilizar un punto $(x,y)$ de la línea original y la ecuación de una línea perpendicular. La segunda consiste en utilizar dos puntos de una línea y un punto de la línea perpendicular. Por definición, si una línea es perpendicular a otra, quiere decir que forman un ángulo recto en el punto de intersección. La ecuación de una línea en un plano es $y=mx+b$. La $y$ representa la línea, la $x$ representa la pendiente de la línea multiplicada por $m$ y la $b$ representa el punto donde la línea cruza el eje “y” del plano.

Pasos

Método 1

Método 1 de 2:

Resolver con un punto y una ecuación

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   Simplifica la ecuación de la línea. Si tienes la ecuación de una línea y las coordenadas de un punto en común, y se te pide hallar la línea perpendicular, es importante que primero conviertas la ecuación al formato $y=mx+b$. Para ello, debes hallar el valor de $y$.

   • Por ejemplo, se te proporciona la ecuación $5y-x=10$.
   • Para despejar $y$, primero debes trasladar ${-x}$ al lado opuesto de la ecuación mediante una suma a ambos lados: $5y=x+10$.
   • Para eliminar el $5$ de $5y$, divide ambos lados de la ecuación entre $5$.
   • La nueva ecuación es: $y={\frac {1}{5}}x+2$.
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   Calcula el recíproco opuesto de la pendiente. Cuando una línea es perpendicular a otra, la pendiente de una es el opuesto negativo de la otra. A esto se le llama recíproco opuesto. Las líneas se cruzan y crean un ángulo recto, lo que significa que las pendientes son opuestas. Cuando se multiplican dos pendientes perpendiculares, el resultado siempre es $-1$.

   • Recuerda que $m$ representa la pendiente de la línea.
   • El recíproco opuesto de de la ecuación $y={\frac {1}{5}}x+2$ sería ${-}{\frac {5}{1}}x$ o símplemente $-5$.
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   Reemplaza el valor de la pendiente en la ecuación para hallar el punto de intercepción del eje “y”. Una vez que tengas el valor de la pendiente de la línea perpendicular y el punto que se te proporcionó, puedes colocarlos en la ecuación de la pendiente. De esta manera, hallarás el valor del punto de intersección del eje “y”. Con esta información podrás resolver la ecuación.

   • Recuerda que la $b$ representa el punto de intersección del eje “y”.
   • Por ejemplo, si se te proporciona el punto $(8,2)$, $8$ representa la coordenada $x$ y $2$ es la coordenada $y$.
   • Reemplaza las variables en la ecuación $y=mx+b$ con los valores conocidos de la pendiente y las coordenadas x, y: $2={-5}(8)+b$.
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   Resuelve la ecuación para hallar el punto de intersección del eje “y”. Una vez que tengas la ecuación con los nuevos valores, tendrás que despejar la $b$, que representa el punto en el eje “y”. Para hacerlo, mueve todos los números al otro lado de la ecuación. Al completar el proceso, tendrás todos los valores necesarios para escribir la ecuación de la línea perpendicular.

   • Para aislar o despejar la $b$ en la ecuación $2={-40}+b$, suma ${40}$ a ambos lados.
   • La ecuación que representa el punto de intersección en el eje “y” de la línea perpendicular es $42=b$.
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   Usa los valores de la pendiente y el punto en el eje “y” para crear la ecuación. Una vez que conozcas el valor de la pendiente y el punto de intersección del eje “y”, solo tienes que reemplazar las variables en la fórmula de la pendiente $y=mx+b$. Reemplaza la $m$ con la pendiente calculada y la $b$ con el punto de intersección.

   • En este ejemplo, la fórmula de la línea perpendicular es $y={-5}x+42$.
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Método 2

Método 2 de 2:

Calcular una línea perpendicular con tres puntos

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   Comprende las coordenadas proporcionadas. Si tienes 3 coordenadas de 2 líneas perpendiculares, no todas sirven para las mismas ecuaciones. Las 2 primeras coordenadas servirán para una línea y la última servirá para calcular la ecuación de la línea perpendicular. La idea es hallar dos ecuaciones de pendientes $y=mx+b$ perpendiculares.

   • Por ejemplo, se te pide hallar las coordenadas de una línea que pasa por la coordenada $(6,1)$ a partir de una línea que pasa por $(4,6)$ y $(2,3)$.
   • Por ahora, concéntrate en las coordenadas $(4,6)$ y $(2,3)$.
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   Reemplaza los valores de la línea original en la ecuación de la pendiente. Puedes usar dos puntos distintos de una línea para hallar la ecuación de una línea perpendicular. Sin embargo, antes de continuar, tendrás que hallar la pendiente de la línea inicial. La ecuación para hallar la pendiente de una línea en base a dos de sus coordenadas es $m={\frac {{y^{2}}-{y^{1}}}{{x^{2}}-{x^{1}}}}$. En este caso, los números que están al lado de la $x$ y la $y$ no son exponentes, sino que indican a qué punto pertenecen.

   • Si tienes los puntos $(4,6)$ y $(2,3)$, entonces la pendiente se calcula de la siguiente manera: $m={\frac {3-6}{2-4}}$.
   • $m={\frac {3-6}{2-4}}$ se simplifica en ${\frac {-3}{-2}}$, que es igual a ${\frac {3}{2}}$.
   • Por lo tanto, la pendiente de la línea es ${\frac {3}{2}}x$.
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   Combina los 2 puntos con la pendiente para crear la ecuación. Una vez que conozcas el valor de la pendiente $m$, podrás usarlo junto con los valores de $x$ y $y$ para hallar la ecuación de la línea. No importa cuál punto elijas. La ecuación es ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$. Recuerda que en este caso, los exponentes solo muestran que las coordenadas pertenecen a puntos diferentes y no se deben resolver.

   • Por ejemplo, si empleas las coordenadas $(4,6)$, la ecuación será ${y}-{6}={\frac {3}{2}}*({x}-4)$.
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   Simplifica la ecuación para hallar $$ y {\displaystyle y} . Una vez que hayas reemplazado las variables del punto y la pendiente en la ecuación, es momento de simplificar. De esta manera, obtendrás la ecuación de la línea perpendicular.

   • Para simplificar ${y}-{6}={\frac {3}{2}}*({x}-4)$, primero multiplica todos los números dentro del paréntesis por el valor externo: ${y}-{6}={\frac {3}{2}}{x}-6$.
   • Aisla la variable $y$ a un lado de la ecuación. Para hacerlo, suma $6$ a ambos lados: ${y}={\frac {3}{2}}{x}+0$. Esta es la ecuación de la primera línea.
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   Halla la pendiente de la línea perpendicular empleando el recíproco opuesto. Una línea perpendicular a otra siempre tendrá una pendiente opuesta. Si la pendiente de la línea original es un número entero positivo, entonces la pendiente de la línea perpendicular será una fracción negativa. Recuerda que si multiplicas dos pendientes perpendiculares, el producto siempre será $-1$.

   • El recíproco opuesto de ${\frac {3}{2}}x$ es ${-}{\frac {2}{3}}x$.
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   Resuelve la ecuación de la línea perpendicular. Utiliza los valores de la pendiente y el tercer punto proporcionado para hallar la ecuación de la línea perpendicular. En este punto, sabrás que la ecuación empieza con $y={-}{\frac {2}{3}}x$, pero todavía debes hallar el punto de intersección del eje “y”. Para hacerlo, utiliza las coordenadas del punto conocido en la ecuación ${y^{2}}-{y^{1}}=m({x^{2}}-{x^{1}})$ y el valor de la pendiente $m$.

   • Utiliza las coordenadas de la línea perpendicular $(6,1)$ para completar la ecuación: ${y}-{1}={-}{\frac {2}{3}}({x}-{6})$.
   • Simplifica la ecuación: $y-{1}={-}{\frac {2}{3}}x-6$.
   • Despeja la $y$ sumando $1$ a cada lado.
   • Al terminar, tendrás $y={-}{\frac {2}{3}}x-5$. Esta es la ecuación final de la línea perpendicular.
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