Como Calcular os Coeficientes Angular e Linear Utilizando a Equação da Reta

A equação da reta é normalmente usada para representar uma equação linear. Ela é escrita no formato "y = mx + b" — no qual as letras devem ser resolvidas, como em:os valores "x" e "y" representam as coordenadas "x" e "y" de uma linha, "m" representa a reta, a razão (mudança de y)/(mudança de x), e o "b", o intercepto-y. Se você quer aprender a usar a equação da reta, este é o artigo certo.

Método 1

Método 1 de 6:

Usando a equação da reta para problemas em matemática

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É preciso ler com cuidado para entender o que estão pedindo nele. Por exemplo: Sua conta bancária aumenta linearmente cada semana. Se após 20 semanas de trabalho sua conta bancária está em R$ 560,00 enquanto, após 21 semanas de trabalho, ela está em R$ 585,00 encontre um modo de expressar a relação entre o quanto você ganhou e quantas semanas você trabalhou na forma de uma equação da reta.
Escreva y = mx + b, que é a equação da reta, ou seja, uma equação linear. Aqui, "m" é o coeficiente angular, "b" é o coeficiente linear que intercepta o eixo-y quando x é igual a zero. Observe que o problema diz "Sua conta bancária aumenta linearmente todo mês," o que significa que você está guardando o mesmo valor por vez, o que por sua vez irá originar uma reta padrão. Se você não economiza o mesmo valor todo mês, então já não estaremos mais lidando com uma equação linear.
Para tanto, você precisa descobrir qual é o valor da diferença. Se você começou com R$ 560,00 e na seguinte tem R$ 585,00 então você ganhou R$ 25,00 depois de 1 semana de trabalho. Isso pode ser calculado subtraindo R$ 560,00 de R$ 585,00. R$ 585,00-R$ 560,00 = R$ 25,00.^{[1]XFonte de pesquisa}
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Encontre o intercepto do eixo y. Para encontrar o intercepto de y ou, se preferir, o "b" em y = mx + b, você precisará descobrir qual é o ponto de partida do problema (no qual ele intercepta o eixo y). Isso significa que você precisa saber quanto dinheiro havia na conta quando você abriu a mesma. Se você tinha R$ 560,00 depois de 20 semanas de trabalho e sabe que ganha R$ 25,00 depois de cada semana de trabalho, então você pode multiplicar 20 x 25 para descobrir quanto dinheiro ganhou nessas 20 semanas. Ou seja, 20 x 25 = 500, o que significa que você ganhou R$ 500,00 durante esse período.
- Como você ganhou R$ 560,00 depois de 20 semanas e ganhou R$ 500,00 agora você pode descobrir o valor inicial da conta ao subtrair 500 de 560. Logo, 560 - 500 = 60.
- Então, o valor de "b," também conhecido como o ponto de partida, é 60.
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Escreva a equação no formato do intercepto da reta. Agora que você já conhece o valor de m = 25 (25 reais ganhos por semana) e do intercepto b = 60, podemos encaixar esses valores na equação:
- y = mx + b.
- y = 25x + 60.
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Confira o resultado. Nessa equação, o "y" representa a quantidade de dinheiro ganha e o "x" representa a quantidade de semanas trabalhadas. Experimente encaixar um número diferente de semanas na equação para ver quanto dinheiro você ganhou depois de determinado período. Confira abaixo:
- Quanto dinheiro você ganhou depois de 10 semanas? Encaixe "10" para substituir o "x" na equação.
  - y = 25x + 60 =
  - y = 25(10) + 60 =
  - y = 250 + 60 =
  - y = 310. Após 10 semanas, você ganhou R$ 310,00.
- Quantas semanas você teria que trabalhar para ganhar R$ 800,00? Encaixe o "800" no lugar da variável "y" na equação para obter o valor de "x".
  - y = 25x + 60 =
  - 800 = 25x + 60 =
  - 800 - 60 =
  - 25x = 740 =
  - 25x/25 = 740/25 =
  - x = 29,6. Você pode ganhar 800 reais depois de quase 30 semanas.
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Método 2

Método 2 de 6:

Conversão de uma equação para o formato de intercepto da reta (ou formato do coeficiente linear)

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Vamos usar a equação 4y +3x = 16.
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Isole o termo y em um lado da equação. Basta levar o termo x para o outro lado para que o termo y fique sozinho. Lembre-se de que toda vez que você muda um termo de lado, deve-se mudar o sinal do mesmo (se for positivo, ele vira negativo, e vice-versa). Logo, como o "3x" foi para o outro lado da equação, ele se tornou "-3x". A equação então fica assim: 4y = -3x +16. Confira como logo abaixo:
- 4y + 3x = 16 =
  - 4y + 3x - 3x = -3x +16 (através da subtração).
- 4y = -3x +16 (através da simplificação da subtração).
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Divida todos os termos pelo coeficiente de y. O coeficiente de y é o número que aparece na frente dele. Caso não haja um coeficiente para y, então seu trabalho termina aqui. Mas se há um coeficiente, deve-se dividir cada termo na equação por esse número. No nosso exemplo, o coeficiente de y é 4, então temos que dividir 4x, -3x, e 16 por 4 para obter a resposta final no formato de coeficiente linear. Aqui vai o passo a passo:^{[2]XFonte de pesquisa}
- 4y = -3x +16 =
- ⁴/₄ y = ^-3/₄ x +¹⁶/_{4 = (by division)}
- y = ^-3/₄ x + 4 (Aqui, simplificamos a divisão)
Se você está usando a equação para delinear a reta, então é bom saber que o "y" representa a coordenada y, o "-3/4" representa a reta, o "x" representa a coordenada x e que o "4" representa o intercepto y (ou o coeficiente linear de y).
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Método 3

Método 3 de 6:

Escrevendo uma equação no formato de coeficiente linear a partir de um dado ponto e de uma reta

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Primeiro, basta escrever y = mx + b. Conforme você for obtendo mais informações, você poderá ir encaixando os valores na equação. Vamos ver o seguinte exemplo de problema: Encontre a equação que tem vetor=4 e que passa pelo ponto (-1, -6).^{[3]XFonte de pesquisa}
2
Encaixe os valores dados. Sabemos que "m" é igual à reta, a qual é 4, e que "y" e "x" representam as coordenadas "x" e "y". Nesse caso, "x" = -1 e "y" = -6. "b" representa o intercepto y; ainda não sabemos o valor de b, então podemos deixá-lo como está. Segue abaixo a equação depois de ter os valores encaixados nela:
- y = -6, m = 4, x = -1 (os valores dados).
- y = mx + b (a fórmula).
- -6 = (4)(-1) + b (através de substituição).
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Calcule o valor do intercepto y. Agora, basta fazer as contas para encontrar o valor de "b," o intercepto y. Multiplique 4 e -1 e em seguida subtraia o resultado de -6. Confira como:
- -6 = (4)(-1) + b.
- -6 = -4 + b (usamos a multiplicação).
- -6 - (-4) = -4 -(-4) + b (usamos a subtração).
- -6 - (-4) = b (simplificamos o seu lado direito da equação).
- -2 = b (simplificamos o seu lado esquerdo da equação).
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Escreva a equação. Agora que encontramos o valor de "b," podemos fazer as substituições necessárias e escrever a equação no formato de coeficiente linear. Tudo de que precisamos saber é o valor da reta e do coeficiente linear y:
- m = 4, b = -2.
- y = mx + b.
- y = 4x -2 (por substituição).
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Método 4

Método 4 de 6:

Escrevendo uma equação na forma de coeficiente linear dados dois pontos

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Antes de poder escrever a equação, é preciso escrever esses dois pontos. Suponha que você tivesse que resolver o seguinte problema: Encontre a equação da reta que passa por (-2, 4) e (1, 2). Escreva os dois pontos com os quais está trabalhando.^{[4]XFonte de pesquisa}
2
Use os dois pontos para encontrar a reta da equação. A fórmula para encontrar o vértice da reta que passa por dois pontos é a seguinte: (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁). O primeiro par de coordenadas (x, y) = (-2, 4) representa X₁ and Y₁, e o segundo par (1, 2) representa X₂ e Y₂. Aqui, estamos tentando encontrar a diferença entre as coordenadas x e y, a qual nos permitirá encontrar o vértice. Agora vamos encaixar os valores na equação:^{[5]XFonte de pesquisa}
- (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) =
- (2 - 4)/(1 - -2) =
- -2/3 = m
- O vértice da reta é -2/3.
3
Escolha um dos pontos para encontrar o coeficiente linear y. Digamos que você tenha escolhido o par (1, 2). Agora, vamos encaixá-los na equação "y = mx + b", na qual "m" representa a vértice e "x" e "y" representam as coordenadas x e y. Vamos calcular o valor de "b." Veja como:^{[6]XFonte de pesquisa}
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 - (-2/3) = b
- 2 + 2/3 = b, ou b = ⁸/₃
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Encaixe os números na equação original. Agora que sabemos que o vértice é -2/3 e que o coeficiente y (ou intercepto y "b") é 2 2/3, vamos encaixar esses valores na equação original para a reta que você fez.
- y = mx + b.
- y = ^-2/₃ x + 2 2/3.
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Método 5

Método 5 de 6:

Delineando uma reta a partir de uma equação da reta

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Primeiro, escreva a equação para começar a usá-la para delinear a reta. Vamos trabalhar com a seguinte equação: y = 4x + 3.^{[7]XFonte de pesquisa}
Ele é representado por "+3" ou "b" na equação da reta, enquanto que o vértice é 3. Isso significa que a reta cruza o eixo y em (0, 3). Coloque o seu lápis nesse ponto.^{[8]XFonte de pesquisa}
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Use a vértice para encontrar as coordenadas de outro ponto da reta. Como sabemos que a vértice é representada por 4, ou "m," podemos dizer que a vértice representa 4/1. Isso significa que toda vez que a linha se move 4 pontos no eixo y, ela se move 1 ponto no eixo x. Logo, se você começar em (0, 3) e continuar para cima 4 pontos, você vai chegar em (0, 7). Então, podemos ir para a direita em uma coordenada para obtermos (1, 7) como o outro ponto dessa reta.
- Caso a sua vértice seja negativa, então temos que mover a coordenada y para cima ao invés de para baixo ou mover a coordenada x para a esquerda ao invés de para a direita. O resultado será o mesmo.
Agora, tudo que temos que fazer é desenhar uma linha reta que atravesse esses dois pontos para representarmos a reta da equação no formato do coeficiente linear y. Você pode continuá-la — basta escolher outro ponto na reta que acabou de desenhar e usá-la para mover a vértice para cima ou para baixo para encontrar outros pontos na reta.
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Método 6

Método 6 de 6:

Encontrando o formato de intercepto de reta a partir da forma de lado a ponto

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y - y₁ = m(x - x₁). Esta é outra maneira de trabalhar com uma forma de equação da linha para obter outra forma.

2
o ponto (4, -3) e a reta m = -2.
Você está trabalhando com valores em que m = -2, já que a reta e as coordenadas de um ponto são (4, -3), e essas são nossas (x₁,y₁), assim como qualquer ponto definido na linha. Portanto, usando esses valores, temos:

y - y₁ = m(x - x₁),

y - (-3) = -2(x - 4). Ao substituir usando o ponto e o lado:

y + 3 = -2(x - 4); que, simplificado: -(-3) to + 3

y + 3 = -2x + -2(-4), por distribuiçãobr>
y + 3 = -2x + 8, por multiplicação

y + 3 - 3 = -2x + 8 - 3, por subtração (de iguais de ambos os lados da equação)

y = -2x + 5</big, pela simplificação/reescrita (Isso encaixa com os valores y = mx + b, chamados de Forma de Lado a Ponto).
No que se baseia tal Forma? A forma de lado a ponto expressa o fato que a diferença de valores y para dois pontos em uma linha (ou seja, y - y₁) podem ser apontados como diretamente "proporcionais" à diferença de valores x (ou seja, x - x₁). Há uma constante de "proporcionalidade" chamada m (a reta).
Acreditamos que "Proporção Direta" é uma comparação que pode ser feita de maneira similar a y = kx. Aqui, notamos que y - y₁ = m(x - x₁) se encaixa na fórmula y = kx .
A proporção direta significa que havendo duas variáveis como x e y, y pode ser diretamente proporcional a x se houver uma constante k semelhante a y = kx e se x não for igual a zero. "k" é uma grandeza constante que representa a reta usada. (Você também pode expressar a proporção direta ao dizer que "x e y variam diretamente", ou expressar que "x e y estão em variação direta").

Dicas
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Este crescimento ou decrescimento também é chamado de coeficiente angular' ou taxa de variação como milhas por hora ou quilômetros por segundo, que são exemplos de taxa de variação (distância em relação ao tempo).
Isto impressiona qualquer professor: use e aplique os dados direto em uma calculadora. E quando seu professor chegar a esse ponto, você pode encontrar a equação de uma reta utilizando a regressão linear dos dados, que nada mais é do que uma espécie de média feita automaticamente por uma calculadora utilizando programas já existentes nela. É claro que isso só deve ser feito depois que você aprender a fazer tudo à mão. A calculadora é uma ferramenta para se usar uma vez que você já tenha um bom conhecimento de álgebra.
Este é um bom modo de mostrar que você entendeu: a variação de y em relação a variação de x é chamada de incremento (crescimento) ou decrescimento (decaimento) da diferença de y dividida pela diferença de x. Também aprenda que divisão é também chamada de razão. A razão é a taxa de variação.
Se você não mostrar o passo a passo da solução dos problemas simples por escrito, quando tiver que resolver problemas mais complexos, você pode ter dificuldades e ficar um pouco perdido, sem saber que procedimentos seguir para fazer os cálculos deslancharem.
Você pode impressionar o seu professor entendendo que, por exemplo, você naturalmente aumenta e diminui de velocidade quando viaja — e o gráfico da velocidade numa viagem faria um zigue-zague. A taxa média de velocidade faria uma linha reta, se desenhada para o mesmo tempo nesta viagem. É por isso que os problemas normalmente usarão a "taxa de variação média".
Tente verificar suas respostas em problemas. Se você tem que resolver para as coordenadas x e y, coloque-os novamente na equação. Por exemplo, se x=10, i.e.: você descobriu que x é 10, na equação y=x+3, então coloque dez no lugar de x. A resposta deve ser a coordenada y correspondente, y = 13. Uma reta vertical teria o que chamamos de vértice indefinido, já que não há variação em x, ou variação em x = 0, o que originaria uma vértice (variação de y)/(variação de x) = p/q = p/0 = inexistente, pois não é possível dividir por zero.
Lembre-se de multiplicar antes de somar ao resolver y = mx + b; logo, não some x+b. É preciso multiplicar m por x.
Não basta ler os exemplos. Você deve escrevê-los e fazer cada passo para ver a ordem e o objetivo do processo envolvido.
O coeficiente angular de uma equação linear representa a variação de y comparada à variação de x naquela equação, utilizando os dados (x,y).
O coeficiente angular mede a variação vertical em relação a variação horizontal em uma razão. Isso pode descrever pontos ou linhas em um gráfico ou em uma taxa de crescimento, como o tempo ou a inclinação de uma encosta.
↑ https://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
↑ http://www.mathsisfun.com/equation_of_line.html
↑ http://www.purplemath.com/modules/strtlneq.htm
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↑ https://www.youtube.com/watch?v=kgD48XXVT1c
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↑ https://www.youtube.com/watch?v=eHPTyYbNmx4
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