Afstand berekenen

Afstand, vaak aangeduid met de variabele d, is een maat voor de ruimte die wordt ingenomen door een rechte lijn tussen twee punten.^[1]XBron Afstand kan verwijzen naar de ruimte tussen twee stilstaande punten (bijvoorbeeld de lengte van een persoon is de afstand van de onderkant van zijn of haar voeten tot de bovenkant van zijn of haar hoofd) of kan verwijzen naar de ruimte tussen de huidige positie van een bewegend voorwerp en zijn beginlocatie. De meeste afstandsproblemen kunnen worden opgelost met de vergelijkingen d = s_gem × t waarbij d de afstand is, s_gem de gemiddelde snelheid, en t de tijd, of de vergelijking d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), waarbij (x₁, y₁) en (x₂, y₂) de x- en y-coördinaten zijn van twee punten.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Afstand bepalen met de gemiddelde snelheid en tijd

Pdf downloaden

1
Bepaal de waarden voor gemiddelde snelheid en tijd. Wanneer je probeert de afstand te vinden die een bewegend object heeft afgelegd, zijn twee gegevens van vitaal belang voor het maken van deze berekening: de snelheid' (of snelheidsmagnitude) en de tijd waarin het object is verplaatst.^[2]XBron Met deze gegevens is het mogelijk om de afstand te vinden die het object heeft afgelegd, met behulp van de formule d = s_gem × t.
- Om het toepassen van de afstandsformule beter te begrijpen, gaan we in dit gedeelte een voorbeeldprobleem oplossen. Laten we zeggen dat we met ongeveer 120 km per uur autorijden en willen weten hoe ver we in een half uur zullen reizen. Met 120 km/u als onze waarde voor de gemiddelde snelheid en 0,5 uur als onze waarde voor de tijd, lossen we dit probleem in de volgende stap op.
2
Vermenigvuldig de gemiddelde snelheid met de tijd. Als je eenmaal de gemiddelde snelheid van een bewegend voorwerp kent en de tijdsduur van verplaatsing, is het vinden van de afstand die het heeft afgelegd relatief eenvoudig. Vermenigvuldig gewoon deze twee waarden met elkaar om je antwoord te krijgen.^[3]XBron
- Merk echter op dat als de gebruikte tijdseenheden in je gemiddelde snelheidswaarde anders zijn dan die in je tijdswaarde, je de ene of de andere moet omrekenen zodat ze bij elkaar passen. Als bijvoorbeeld een gemiddelde snelheid gemeten is in km per uur en de tijd in minuten, dan zou je de tijd moeten delen door 60 om deze om te rekenen naar uren.
- Laten we ons voorbeeldprobleem oplossen. 120 km/uur × 0,5 uur = 60 km. Merk op dat de tijdseenheden (uren) wegvallen tegen de eenheden in de noemer van de gemiddelde snelheid (uren), zodat alleen de afstandseenheden (km) blijven staan.
3
Bewerk de vergelijking om de andere variabelen op te lossen. De eenvoud van de basis afstandsvergelijking (d = s_gem × t) maakt het vrij eenvoudig om naast de afstand de vergelijking ook te gebruiken voor het vinden van de waarden van variabelen. Isoleer de variabele die je wilt oplossen volgens de basisregels van de wiskunde, en vul dan de waarden in van de andere twee variabelen, om de waarde van de derde te vinden. Met andere woorden: om de gemiddelde snelheid van je object te vinden, gebruik je de vergelijking s_gem = d/t en om de tijd te vinden dat een object heeft gereisd, gebruik je de vergelijking t = d/s_gem.
- Stel dat we weten dat een auto 60 km heeft gereden in 50 minuten, maar we hebben geen waarde voor de gemiddelde snelheid tijdens het rijden. In dit geval kunnen we de variabele s_gem isoleren in de basisvergelijking voor de afstand, en krijgen we s_gem = d/t te krijgen. Vervolgens berekenen we 60 km/50 minuten = 1,2 km/min.
- Merk op dat in ons voorbeeld ons antwoord voor snelheid een ongewone eenheid (km/minuut) heeft. Om je antwoord in de meer gangbare vorm van km/uur te krijgen, vermenigvuldig je het met 60 minuten/uur en krijg je dan '72 km/uur te krijgen.
4
Merk op dat de variabele 's_gem' in de afstandsformule verwijst naar gemiddelde snelheid. Het is belangrijk om te begrijpen dat de standaard afstandsformule een vereenvoudigd beeld geeft van de beweging van een object. De afstandsformule gaat ervan uit dat het bewegende object een constante snelheid heeft — het gaat er met andere woorden van uit dat het bewegende object met in een 'eenparige', onveranderlijke snelheid beweegt. Voor abstracte wiskundige problemen, zoals je die in een academische setting kunt tegenkomen, is het soms nog mogelijk om de beweging van een object te modelleren aan de hand van deze aanname. In het echte leven geeft dit model echter vaak niet nauwkeurig de beweging van bewegende objecten weer, die in werkelijkheid in de loop van de tijd kan versnellen, vertragen, stoppen en omkeren.
- Voorbeeld: in de bovenstaande voorbeeldopgave, concludeerden we dat om 60 km te reizen in 50 minuten, we met 72 km/uur zouden moeten reizen. Dit is echter alleen waar als we de hele reis met één snelheid reizen. Door bijvoorbeeld de helft van de reis met 80 km/uur te rijden en de andere helft met 64 km/uur, rijden we nog steeds 60 km in 50 minuten — 72 km/uur = 60 km/50 min = ?????
- Wiskundige oplossingen met behulp van afgeleiden zijn vaak een betere keuze dan de afstandsformule voor het definiëren van de snelheid van een object in reële situaties, omdat veranderingen in de snelheid waarschijnlijk zijn.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

De afstand tussen twee punten bepalen

Pdf downloaden

Wat als je, in plaats van de afstand te bepalen die een bewegend object heeft afgelegd, de afstand tussen twee stilstaande objecten moet bepalen? In dit soort gevallen zal de hierboven beschreven op snelheid gebaseerde afstandsformule geen enkel nut hebben. Gelukkig is er een andere afstandsformule^[4]XBron om snel de kortste afstand tussen twee punten te vinden. Voor deze formule moet je echter wel de coördinaten van de twee punten kennen. Als je te maken hebt met een eendimensionale afstand (zoals op een getallenlijn), dan zijn je coördinaten twee getallen, x₁ en x₂. Als je te maken hebt met afstand in twee dimensies, dan heb je waarden nodig voor twee punten (x,y), (x₁,y₁) en (x₂,y₂). Tot slot heb je voor drie dimensies waarden nodig voor (x₁,y₁,z₁) en (x₂,y₂,z₂).
2
Bepaal afstand op een lijn door de waarde van de coördinaten voor de twee punten van elkaar af te trekken. Het berekenen van de eendimensionale afstand tussen twee punten als je de waarde voor elk punt weet is gemakkelijk. Gebruik gewoon de formule d = |x₂ - x₁|. In deze formule trek je x₁ af van x₂ en neem je de absolute waarde van je antwoord om de afstand tussen x₁ en x₂ te vinden. Normaal gesproken gebruik je de eendimensionale afstandsformule als de twee punten op een getallenlijn of -as liggen.
- Merk op dat deze formule absolute waarden gebruikt (het symbool |). Absolute waarden betekenen eenvoudigweg dat de termen binnen de symbolen positief worden als ze negatief zijn.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we onderweg stoppen op een perfect recht stuk weg. Als er een kleine stad 5 km voor ons ligt en een stad 1 km achter ons, hoe ver liggen de twee steden dan uit elkaar? Als we stad 1 als x₁ = 5 beschouwen en stad 2 als x₂ = -1, dan kunnen we d, de afstand tussen de twee steden, als volgt vinden:
  - d = |x₂ - x₁|
  - = |-1 - 5|
  - = |-6| = 6 km.
3
Bepaal de afstand in het platte vlak door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras.^[5]XBron Het vinden van afstand tussen twee punten in de tweedimensionale ruimte is gecompliceerder dan in één dimensie, maar niet moeilijk. Gebruik gewoon de formule d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). In deze formule trek je de twee x-coördinaten van elkaar af, kwadrateer je het resultaat, trek je de y-coördinaten af, kwadrateer je het resultaat, tel je de twee tussenliggende resultaten bij elkaar op en bereken je de vierkantswortel om de afstand tussen de twee punten te vinden. Deze formule werkt in het tweedimensionale vlak — bijvoorbeeld op de standaard x/y-grafieken.
- De afstandsformule in de tweedimensionale ruimte maakt gebruik van de stelling van Pythagoras, die bepaalt dat de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de vierkantswortel van de andere twee zijden.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we twee punten hebben in het x-y vlak: (3, -10) en (11, 7) die respectievelijk het middelpunt van een cirkel en een punt op de cirkel voorstellen. Om de rechte afstand tussen deze twee punten te vinden, kunnen we het volgende oplossen:
- d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
- d = √((11 - 3)² + (7 - -10)²)
- d = √(64 + 289)
- d = √(353) = 18,79
4
Bepaal de driedimensionale afstand door de vlakformule te wijzigen. In drie dimensies hebben punten ook nog een z-coördinaat naast de x- en y-coördinaat. Om de afstand tussen twee punten in de driedimensionale ruimte te vinden, gebruik je d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). Dit is een aangepaste vorm van de hierboven beschreven tweedimensionale afstandsformule waarbij ook rekening wordt gehouden met de z-coördinaten. Door de twee z-coördinaten van elkaar af te trekken, ze in het kwadraat te plaatsen en de rest van de formule te doorlopen zoals hierboven beschreven, ben je er zeker van dat je uiteindelijke antwoord de driedimensionale afstand tussen de twee punten weergeeft.
- Voorbeeld: laten we zeggen dat als astronaut in de ruimte zweven bij twee asteroïden. De ene is ongeveer 8 km voor ons, 2 km rechts van ons en 5 km onder ons, terwijl de andere 3 km achter ons is, 3 km links van ons en 4 km boven ons. Als we de posities van deze asteroïden met de coördinaten (8,2,-5) en (-3,-3,4) weergeven, kunnen we de afstand tussen de twee als volgt vinden:
- d = √((-3 - 8)² + (-3 - 2)² + (4 - -5)²)
- d = √((-11)² + (-5)² + (9)²)
- d = √(121 + 25 + 81)
- d = √(227) = 15,07 km
Advertentie