Cómo hallar la distancia

La distancia, asignada a menudo con la variable d, es la medida del espacio contenido por una línea recta entre dos puntos. La distancia puede referirse al espacio entre dos puntos estacionarios (por ejemplo la estatura de una persona es la distancia entre la parte inferior de sus pies hasta la parte superior de su cabeza) o puede referirse al espacio entre un objeto en movimiento y su posición de inicio. La mayoría de los problemas sobre distancia son resueltos con las ecuaciones d = v × t donde d es la distancia, v es la velocidad y t es el tiempo, como lo siguiente d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas x,y de los dos puntos.

Método 1

Método 1 de 2:

Halla la distancia con la velocidad y tiempo

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Halla el valor de velocidad y tiempo. Cuando se trata de hallar la distancia del trayecto de un objeto en movimiento, dos datos de la información son vitales para hacer este cálculo: su velocidad y el tiempo de desplazamiento del objeto. Con esta información es posible hallar la distancia que recorrió el objeto en movimiento mediante la fórmula d = v × t.
- Para comprender mejor el uso de la fórmula de distancia, se resolverá un problema ejemplo en esta sección. Se va a una velocidad por la carretera a 193 km (120 millas) por hora y se quiere saber cuánto será nuestro trayecto en media hora. Usa 193 kph (120 mph) para el valor de velocidad 0,5 horas para el valor de tiempo, en el siguiente paso se resolverá el problema.
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Multiplica velocidad por tiempo. Una vez que hallas la velocidad de un objeto en movimiento y el tiempo que ha recorrido, encontrar la distancia recorrida es relativamente sencillo. Simplemente multiplica estas dos cantidades para hallar la respuesta.
- Sin embargo, si las unidades de tiempo usadas en el valor de velocidad son diferentes a las usadas en el tiempo, necesitarás convertir una u otra, de esta manera serán compatibles. Por ejemplo, el valor de la velocidad está en km por hora y el valor del tiempo en minutos, necesitarás dividir el valor del tiempo entre 60 para convertirlo en horas.
- Resuelve el problema. 193 km (120millas)/hora ; 0,5 horas = 96 km (60 millas). Fíjate que las unidades del valor del tiempo (horas) estén simplificadas de forma cruzada con las unidades en el denominador del valor de la velocidad (horas) para que solo quede la unidad de la distancia en km (millas).
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Invierte la ecuación para hallar las otras variables. La simplicidad de la ecuación básica de distancia (d = v × t) hará más fácil usar la ecuación para hallar los valores de las otras variables. Simplemente separa la variable que deseas hallar según las reglas básicas el álgebra, luego invierte los valores para las otras dos variables para hallar el valor de la tercera. En otras palabras, para hallar la velocidad del objeto usa la ecuación v = d/t y para hallar el tiempo recorrido usa la ecuación t = d/v.
- Por ejemplo, un auto ha recorrido 96 km (60 millas) en 50 minutos, pero no se sabe a qué velocidad. En este caso, podemos separar la variable v en la ecuación básica de distancia para hallar v = d/t, luego simplemente divide 96 km (60 millas) / 50 minutos para obtener una respuesta de 1,92 km (1,2 millas)/minuto.
- Observa que en el ejemplo, la respuesta para velocidad tiene una unidad diferente (kilómetros/minutos) como su unidad. Para obtener la respuesta en la forma de kilómetros/hora, debemos multiplicarlo por 60 minutos/hora para obtener 116 km (72 millas)/hora.
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Observa que la variable "v" en la fórmula de la distancia se refiera a la velocidad promedio. Es importante entender que la formula básica de la distancia una vista simple del movimiento del objeto. La fórmula de la distancia asume que el objeto en movimiento tiene velocidad constante; es decir, asume que el objeto en movimiento se desplaza en un solo rango invariable de velocidad. Para problemas matemáticos abstractos que se encuentran en el mundo académico, a veces es posible modelar el movimiento de un objeto mientras se realiza esta conjetura. Sin embargo en el mundo real, a menudo no está reflejado de forma precisa el movimiento del objeto que puede aumentar la velocidad, disminuir, detener o revertirse con el tiempo.
- Por ejemplo, en el problema anterior, se concluyó que al recorrer 60 km en 50 minutos, se necesita una rapidez de 72 km/hora. Sin embargo, esto solo se cumple si el trayecto se realizó a una sola velocidad durante todo el recorrido. Por ejemplo desplazarse a 80 km/h una mitad del trayecto y la otra mitad del trayecto a 64 km/hora, el trayecto será 60 km en 50 minutos; 72 km/hora= 60 km/50 min = ?????
- Las soluciones basadas en cálculos como las derivadas son generalmente una mejor opción que la fórmula de la distancia para definir la velocidad de un objeto en situaciones de tiempo real en donde son probables los cambios de velocidad.
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Método 2

Método 2 de 2:

Halla la distancia con dos puntos

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¿Qué pasaría, si en lugar de hallar la distancia del trayecto de un objeto en movimiento, necesitas hallar la distancia entre dos objetos estacionarios? En estos casos, la velocidad basada en la fórmula de la distancia descrita anteriormente no será de ayuda. Afortunadamente, la fórmula separada de distancia será usada para hallar de manera fácil la distancia de línea recta entre dos puntos. Sin embargo, para aplicar esta fórmula necesitarás saber las coordenadas de los dos puntos. Si estás frente a una distancia unidimensional (así como en una recta numérica), las coordenadas de los puntos serán dos números, x₁ y x₂. Si trabajas con una distancia bidimensional, necesitarás los valores de los dos puntos (x,y), (x₁,y₁) y (x₂,y₂). Finalmente, para una distancia tridimensional necesitarás los valores para (x₁,y₁,z₁) y (x₂,y₂,z₂).
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Halla la distancia de 1-D sustrayendo los dos puntos. Calcular la distancia unidimensional entre dos puntos cuando sabes que el valor de cada uno es algo sencillo. Simplemente utiliza la fórmula d = |x₂ - x₁|. En esta fórmula, restas x₁ de x₂, luego tomas el valor absoluto del resultado para hallar la distancia entre x₁ y x₂. Normalmente, querrás usar la fórmula de la distancia unidimensional cuando los dos puntos estén sobre la línea unidimensional.
- Observa que esta fórmula utiliza el valor absoluto (los símbolos "| |"). El valor absoluto simplemente significa que los valores dentro de los símbolos se volverán positivos si son negativos.
- Por ejemplo, te encuentras por un lado del camino en un tramo perfectamente recto de la carretera. Si hay una pequeña ciudad 5 km hacia adelante y una ciudad 1 km detrás, ¿a qué distancia están separadas las dos ciudades? Si establecemos a la ciudad 1 como x₁ = 5 y ciudad 2 como x₁ = -1, d puede ser hallada, la distancia entre las dos ciudades se hallará así:
  - d = |x₂ - x₁|
  - = |-1 - 5|
  - = |-6| = 6 km.
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Halla la distancia de 2-D utilizando el teorema de Pitágoras. Hallar la distancia entre dos puntos en un espacio bidimensional es más complicado que el unidimensional, pero no difícil. Simplemente utiliza la fórmula d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). En esta fórmula, restas las dos coordenadas de los puntos “x”, elevas al cuadrado el resultado; restas las coordenadas “y” y elevas al cuadrado el resultado, sumas ambos resultados y sacas la raíz cuadrada de los mismos para hallar la distancia entre los dos puntos. Esta fórmula funciona en el plano bidimensional; por ejemplo, en gráficos básicos x/y.
- La fórmula de la distancia de 2-D toma ventaja del teorema de Pitágoras, que dice que la hipotenusa de un triángulo recto es igual a la raíz cuadrada de los dos lados elevados al cuadrado.
- Por ejemplo, tienes dos punto en el plano x/y: (3, -10) y (11, 7) que representan el centro de un circunferencia y un punto sobre la circunferencia, respectivamente. Para hallar la distancia en línea recta entre estos dos puntos, debemos resolver lo siguiente:
- d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
- d = √((11 - 3)² + (7 - -10)²)
- d = √(64 + 289)
- d = √(353) = 18.79
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Halla la distancia de 3-D modificando la fórmula de 2-D. En tres dimensiones, los puntos tienen una coordenada z además de las coordenadas x ,y. Para hallar la distancia entre dos puntos en una espacio tridimensional, utiliza d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). Esta es una fórmula modificada de la fórmula de la distancia bidimensional descrita anteriormente que toma las coordenadas de los puntos z. Las dos coordenadas z se restan, se eleva al cuadrado la diferencia y procesar a través de la diferencia de la fórmula anterior asegurando que el resultado final represente la distancia tridimensional entre los dos puntos.
- Por ejemplo, un astronauta está flotando en el espacio cerca de dos asteroides. Uno está a 8 kilómetros en frente, 2 km a la derecha y 5 km detrás. Mientras que el otro está 3 km detrás, 3 km a la izquierda y 4 km adelante. Si representas las posiciones de los asteroides con las coordenadas (8,2,-5) y (-3,-3,4), hallarás las distancia entre los dos puntos de la siguiente manera:
- d = √((-3 - 8)² + (-3 - 2)² + (4 - -5)²)
- d = √((-11)² + (-5)² + (9)²)
- d = √(121 + 25 + 81)
- d = √(227) = 15.07 km
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