等差数列の項を求める方法

等差数列とは、隣り合う数どうしの差が一定の数列のことです。例えば、偶数の数列 $0,2,4,6,8$ …は隣り合う数どうしの差が常に2なので等差数列です。^{[1]X出典文献}等差数列の問題では、与えられた数列に続く項の値などが問われます。空欄となっている項を埋める問題もあります。また、例えば100番目の項を計算で求める場合もあります。これらの問題はいずれも簡単な手順で解くことができます。

方法 1

方法 1 の 4:

等差数列の続きの項を求める

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数列の公差を求めます。数列としていくつかの数の並びを与えられ、それが等差数列だと明示されている場合と、自分でそのことに気づく必要がある場合とがあります。いずれの場合でも、最初にやるべきことは変わりません。数列の最初の2つの値に注目します。そして第2項の値から初項の値を引きます。その差が数列の公差です。^{[2]X出典文献}
- 例えば、 $1,4,7,10,13$ …という数列が与えられた場合、 $4-1$ をすると公差3が求められます。
- $25,21,17,13$ …のように、徐々に数が小さくなっていく数列もあります。その場合も第2項から初項を引いて差を求めます。例の場合、 $21-25=-4$ という計算をします。答えが負の値になるということは、この数列は左から右にいくにつれて数が小さくなっていくということを意味します。公差の正負号が実際の数列の数の並び方と合っているか、必ず確認しましょう。
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差が均一か確認します。最初の2つの項の差を求めただけでは、数列が等差数列かどうかは分かりません。数列全体で常に差が均一であることを確認する必要があります。^{[3]X出典文献}数列の隣り合う項どうしの差を確認します。さらに1、2対の項の差を調べて、全て同じ値であれば等差数列だと推定できます。
- 同じ例 $1,4,7,10,13$ …を使い、第2項と第3項を比較します。 $7-4$ を解くと、この差も3となります。最終確認のため、 $13-10$ も計算してみると、差は常に3であることが分かります。この時点で、この数列は等差数列であることが確信できます。
- 最初は等差数列に思えても、後から違うことに気づく場合もあります。例えば、 $1,2,3,6,9$ …. という数列の場合、初項と第2項の差は1で、第2項と第3項の差も1です。しかし、第3項と第4項の差は3です。数列全体で差が均一ではないので、これは等差数列ではありません。
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与えられた最後の項に公差を足します。公差が分かれば、数列の続きの項を求めるのは簡単です。単純に公差を数列の最後の項に加えれば、続きの項の値となります。
- 例えば、 $1,4,7,10,13$ …の場合、最後の値に公差3を加えて続きの項を求めます。 $13+3$ の答えは16なので、これが続きの項の値です。3を加え続ければ、数列を好きなだけ長くできます。例の数列の場合、 $1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ….と続いていき、好きなだけ長くできます。
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方法 2

方法 2 の 4:

抜けている項を求める

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与えられた数列が等差数列であることを確認します。数列の途中の項が抜けている場合もあります。まずは上記のとおり、等差数列であることを確認しましょう。隣り合う2つの項の差を求めます。これを異なる対で3回行い、いずれも差が同じ値であれば等差数列であることが推定できるので、次に進みましょう。
- 例えば、 $0,4$ ,___, $12,16,20$ ….という数列を与えられたとします。まず $4-0$ をすると、差4が求められます。同様に別の隣り合う数どうしの差、例えば $16-12$ などを求めます。この差も4なので、次に進みましょう。
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空欄の前の項に公差を加えます。これは数列の最後に項を加えるのと同じことです。数列の空欄の1つ手前の項を見ます。これが分かっている「最後」の値ということです。この項に公差を加えると、空欄に入る値が求められます。^{[4]X出典文献}
- $0,4$ ,____, $12,16,20$ …という例の場合、空欄の直前の項は4で、公差も4です。そこで $4+4$ をすると8が求められ、これが空欄に入れるべき値となります。
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空欄の次の項から公差を引きます。答えが正しいことを確認するため、別の方向からも求めてみましょう。等差数列ではどちらの方向から見ても差が均一になっています。左から右に進む場合は4を加え、逆に右から左に進む場合は4を引きます。
- $0,4$ ,___, $12,16,20$ …という例の場合、空欄の直後の項は12です。この値から公差4を引くと $12-4=8$ が求められます。つまり、空欄に入る値は8です。
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答えを比較します。左の項から足した答えと、右の項から引いた答えは等しくなるはずです。等しい場合は抜けている項の値を正しく求められたということです。答えが合わない場合、計算間違いをしていないか確認しましょう。数列が等差数列ではない可能性もあります。
- 例の場合、 $4+4$ と $12-4$ の答えはいずれも8です。つまり、抜けている項の値は8ということです。これを当てはめると、数列は $0,4,8,12,16,20$ ….となります。
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方法 3

方法 3 の 4:

等差数列の一般項を求める

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数列の初項を確認します。全ての数列が0や1から始まるわけではありません。与えられた数列を見て、初項を見つけましょう。これは数列の先頭の値で、変数a(1)で表されることもあります。
- 一般に、等差数列の初項は変数a(1)で表します。もちろん、その他の好きな変数を用いても答えは変わらないので構いません。
- 例えば、 $3,8,13,18$ …という変数の場合、初項 $3$ を、代数a(1)として表すことができます。
上記のとおり数列の公差を求めます。この例の場合、公差は $8-3$ で5です。他の項どうしの差も同じ答えになります。この公差を代数dで表します。^{[5]X出典文献}
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一般項を求める公式を使います。一般項を求める公式は、等差数列を全て書き出さなくても、必要な項を求められる代数方程式です。等差数列の一般項を求める公式は $a(n)=a(1)+(n-1)d$ $How.com.vn 日本語: {\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$ です。
- a(n)は「第n項の値」を意味し、nは数列の何番目の項を求めたいか、a(n)はその項の実際の値を表します。例えば、等差数列の第100項の値を求めたい場合、nは100となります。このとき、nは100ですが、a(n)は100番目の項の値なので、100そのものではないことに気をつけましょう。
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得られた情報を代入して問題を解きます。一般項を求める公式に、得られた情報を代入して、必要な項の値を求めます。
- 例えば、 $3,8,13,18$ …の例の場合、a(1)は初項3であることと、公差は5であることが分かっています。この数列の第100項を求める場合、n=100で(n-1)=99です。これらの情報を公式に代入すると、 $a(100)=3+(99)(5)$ となります。これを解くと答えは498で、100番目の項の値が求められます。
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方法 4

方法 4 の 4:

一般項を求める公式を使ってその他の情報を求める

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一般項を求める公式を変形させてその他の変数を求めます。一般項を求める公式^{[6]X出典文献}と基本的な代数学を用いれば、等差数列のいくつかの要素を求めることができます。元の公式 $a(n)=a(1)+(n-1)d$ $How.com.vn 日本語: {\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$ では、a_nを求めて数列の第n項の値が分かります。この公式を変形させれば、その他の変数を求めることもできます。
- 例えば、数列の末項の値が分かっていて、そこから初項の値を求めるとします。この場合、公式を変形させて、 $a(1)=(n-1)d-a(n)$ とします。
- 等差数列の初項と末項が分かっていて、全体の項数を求める問題の場合、nを求められる形に方程式を変形させ、 $n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ とします。
- 方程式の変形方法が分からない場合は、「代数を学ぶ」で学習しましょう。
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数列の初項を求めます。等差数列の第50項が300で、公差が7の場合における初項を求めるとします。この場合も、一般項を求める公式を変形させてa(1)を求められる形にします。
- 方程式 $a(1)=(n-1)d-a(n)$ に得られた情報を代入します。第50項が300であることが分かっているので、n=50、n-1=49 、a(n)=300です。また、公差dが7であることも分かっています。よって、式は $a(1)=(49)(7)-300$ となり、これを解くと $343-300=43$ が求められます。この数列の初項は43で、7ずつ増えてきます。従って、この数列は43,50,57,64,71,78…293,300という形になります。
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数列の項数を求めます。初項と末項が分かっていて、項数を求める問題の場合、公式を変形させて $n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ $How.com.vn 日本語: {\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}$ とします。
- 初項が100で、13ずつ増えていく等差数列があるとします。そして、末項は2,856だということも分かっているとします。a(1) =100、d=13、a(n)=2856を使って項数を求めましょう。これらの要件を公式に代入すると、 $n={\frac {2856-100}{13}}+1$ となります。これを解くと、 $n={\frac {2756}{13}}+1$ 、212+1となり、解は213です。つまり、この数列には213個の項があるということです。
- この数列は、100, 113, 126, 139… 2843, 2856という形になります。
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