등차수열의 특정항의 값을 구하는 방법

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다음 항의 값을 구하는 방법

중간에 빠진 수를 구하는 방법

N번째 항을 구하는 방법

공식을 응용하는 방법

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등차수열은 이전 항에 차례로 일정한 값을 더하여 만들어진 수열입니다. 예를 들어서 $0,2,4,6,8$…과 같은 수열은 등차수열입니다. 왜냐하면 연속된 두 항의 차이값이 2로 일정하기 때문입니다. 등차수열에 관한 문제를 풀다보면 다음 항의 값이 무엇인지 묻는 경우가 있습니다. 혹은 중간에 빠진 수를 묻는 문제도 있습니다. 하지만 걱정하지 마세요. 등차수열의 개념과 규칙을 이해하면 숫자를 모두 쓰지 않고도 심지어 100번째 항의 값도 구할 수 있습니다. 아래의 설명을 차근차근 읽어보면 등차수열 문제를 쉽게 풀 수 있을 겁니다.

단계

방법 1

방법 1 의 4:

다음 항의 값을 구하는 방법

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   등차수열의 공차를 계산하세요. 문제에서 이미 등차수열이라고 언급하는 경우도 있고 본인이 직접 등차수열인지 아닌지를 파악해야 하는 경우도 있습니다. 둘 중 어떤 경우라도 가장 먼저 확인해야 하는 건 똑같습니다. 우선 수열의 첫 번째 두 항을 확인하세요. 그 다음, 두 번째 항에서 첫 번째 항을 빼세요. 두 항의 차이값이 바로 공차입니다.

   • 예를 들어서 $1,4,7,10,13$....과 같은 수열의 경우, $4-1$을 계산하면 공차가 3이라는 사실을 알 수 있습니다.
   • $25,21,17,13$….과 같이 다음 항의 값이 점점 작아지는 수열도 여전히 똑같은 방식으로 두 번째 항에서 첫 번째 항을 빼면 됩니다($21-25=-4$). 공차가 음수일 경우, 언제나 다음 항(오른쪽에 있는 항)은 이전 항(왼쪽에 있는 항)보다 작습니다. 공차가 양수인지 음수인지 파악한 후 다음 항의 값이 커지는 지 혹은 작아지는 지 다시 한번 확인하세요.
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   공차가 일정한지 확인하세요. 첫 번째 두 항만 확인해서는 수열의 공차가 일정한지 알 수 없습니다. 수열 전체에 걸쳐서 공차가 일정한지 확인해야 합니다. 또 다른 연속된 두 항의 차이값을 계산해서 공차를 재차 확인하세요. 둘 또는 세 쌍의 항을 확인한 결과 공차가 일정하다면 등차수열일 가능성이 높습니다.

   • 위에서 언급했던 $1,4,7,10,13$…과 같은 수열의 경우, 세 번째 항에서 두 번째 항을 빼면($7-4$) 차이값이 여전히 3이기 때문에 등차수열이라는 걸 알 수 있습니다. 그러나 혹시 모르니 다른 쌍($13-10$)도 확인해보세요. 두 쌍 모두 차이값이 3이므로 일정한 공차를 가진 수열입니다. 이렇게 여러 쌍의 항을 확인해보면 등차수열인지 아닌지 파악할 수 있습니다.
   • 앞에 있는 항들을 몇 개 확인했을 때는 등차수열인 것처럼 보이지만 뒤에 있는 항들도 전부 확인해보면 등차수열이 아닌 경우도 있습니다. 예를 들어서 $1,2,3,6,9$….와 같은 수열의 경우, 첫 번째 항과 두 번째 항의 차이값이 1이고 두 번째 항과 세 번째 항의 차이값도 1입니다. 하지만 세 번째 항과 네 번째 항의 차이값은 3입니다. 수열 전체에 걸쳐서 차이값이 일정하지 않으므로 등차수열이 아닙니다.
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   마지막 항에 공차를 더하세요. 등차수열의 공차를 알면 다음 항을 구하기 쉽습니다. 그저 마지막 항에 공차를 더하면 됩니다. 두 숫자를 더한 값이 다음 항의 값입니다.

   • 예를 들어서 $1,4,7,10,13$…과 같은 수열의 경우, 마지막 항에 공차 3을 더하면 다음 항을 구할 수 있습니다. $13+3=16$이므로 다음 항은 16입니다. 이런 식으로 3을 계속 더하면 원하는 만큼 수열을 이어나갈 수 있습니다. 예시: $1,4,7,10,13,16,19,22,25$….
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방법 2

방법 2 의 4:

중간에 빠진 수를 구하는 방법

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   등차수열인지 아닌지 확인하세요. 간혹 수열 중간에 빠진 수를 구하는 문제가 출제되기도 합니다. 이와 같은 문제를 풀 때는 우선 등차수열인지 아닌지 확인하세요. 연속된 두 항을 아무거나 고른 후 두 항의 차이값을 계산하세요. 그 다음, 또 다른 연속된 두 항을 고른 후 차이값을 계산하세요. 만약 두 차이값이 같다면 등차수열일 겁니다. 등차수열의 개념과 규칙을 이용해서 문제를 푸세요.

   • 예를 들어서 $0,4$,___,$12,16,20$….과 같은 수열의 경우, $4-0$을 계산하면 차이값이 4라는 걸 알 수 있습니다. 그 다음, $16-12$를 계산하면 차이값이 4라는 걸 알 수 있습니다. 두 차이값이 같으므로 등차수열의 개념과 규칙을 이용해서 문제를 풀면 됩니다.
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   비어있는 칸 왼쪽에 있는 항에 공차를 더하세요. 수열의 마지막 항에 공차를 더하는 것과 비슷합니다. 비어있는 칸 바로 왼쪽에 있는 항을 확인하세요. 이 항이 당신이 알고 있는 ‘마지막’ 항입니다. 이 항에 공차를 더하면 비어있는 칸에 들어가야 하는 수를 알 수 있습니다.

   • 예를 들어서 $0,4$,___,$12,16,20$….과 같은 수열의 경우, 비어있는 칸 왼쪽에 있는 항은 4 그리고 공차 또한 4입니다. $4+4=8$이므로 비어있는 칸에 들어가야 하는 수는 8입니다.
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   비어있는 칸 오른쪽에 있는 항에서 공차를 빼세요. 반대 방향으로도 계산을 해서 값이 정확한 지 재차 확인하세요. 등차수열은 방향과 관계없이 일정해야 합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 각 항에 4를 더했을 경우, 반대 방향으로(오른쪽에서 왼쪽으로) 갈 때는 각 항에 4를 빼야 합니다.

   • 예를 들어서 $0,4$,___,$12,16,20$….과 같은 수열의 경우, 비어있는 칸 바로 오른쪽에 있는 항은 12입니다. 이 항에서 공차 4를 빼세요($12-4=8$). 비어있는 칸에 들어가는 수는 8입니다.
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   두 값을 비교하세요. 비어있는 칸 왼쪽에 있는 항에 공차를 더한 값과 비어있는 칸 오른쪽에 있는 항에서 공차를 뺀 값이 서로 일치해야 합니다. 두 값이 일치할 경우, 중간에 빠진 수를 정확히 구한 겁니다. 하지만 만약 일치하지 않다면 다시 계산해야 합니다. 혹은 문제에서 주어진 수열이 등차수열이 아닐 가능성도 있습니다.

   • 위에서 언급한 수열의 경우, $4+4$를 계산한 값도 8이고 $12-4$를 계산한 값도 8입니다. 그러므로 중간에 빠진 수는 8이며 전체 수열은 $0,4,8,12,16,20$….입니다.
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방법 3

방법 3 의 4:

N번째 항을 구하는 방법

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   수열의 첫 번째 항을 확인하세요. 모든 수열이 0 또는 1로 시작하는 건 아닙니다. 문제에서 주어진 수열의 첫 번째 항을 확인하세요. 첫 번째 항을 미지수 a₁으로 나타내는 것이 풀이의 첫 단계입니다.

   • 일반적으로 수열의 첫 번째 항을 미지수 a₁으로 나타냅니다. 물론 다른 미지수를 사용해도 상관없습니다. 결과는 여전히 같습니다.
   • 예를 들어서 $3,8,13,18$…과 같은 수열의 경우, 첫 번째 항은 3입니다. 이 항을 a₁으로 나타내세요.
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   공차를 d로 나타내세요. 앞서 설명한 방식대로 공차를 구하세요. 예를 들어서 바로 위에서 언급한 수열의 경우, 공차($8-3$)는 5입니다. 다른 항들을 확인해도 결과는 같습니다. 이렇게 계산한 공차를 미지수 d로 나타내세요.
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   공식을 이용하세요. 등차수열에 포함된 모든 숫자를 적지 않고도 특정한 항의 값을 구할 수 있는 공식이 존재합니다. 참고로 공식은 a_n = a₁ + (n - 1) × d입니다.

   • a_n은 ‘n번째 항’이라고 읽으면 됩니다. n은 수열에서 몇 번째인지를 나타내며 a_n의 값이 n번째 항에 들어가야 하는 수입니다. 예를 들어서 등차수열의 100번째 항을 구해야 할 경우, n은 100입니다. 그리고 a_n의 값은 100이 아니라 100번째 항의 값과 같습니다.
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   공식에 모든 값을 대입해서 답을 구하세요. 공식에 모든 값을 대입하면 원하는 항의 값을 구할 수 있습니다.

   • 예를 들어서 $3,8,13,18$…과 같은 수열의 경우, a₁은 첫 번째 항 3입니다. 그리고 공차는 5입니다. 이 수열의 100번째 항을 구해야 할 경우 n = 100, (n - 1) = 99입니다. 공식에 모든 값을 대입하면 a₁₀₀ = 3 + 99 × 5가 됩니다. 그러므로 100번째 항 a₁₀₀의 값은 498입니다.
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방법 4

방법 4 의 4:

공식을 응용하는 방법

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   공식을 다른 식으로 표현하세요. 기초 방정식 개념과 규칙을 알고 있으면 공식을 응용해서 여러 가지 유형의 등차수열 문제를 풀 수 있습니다. 원래의 공식 a_n = a₁ + (n - 1) × d은 a_n 또는 n번째 항을 구하는 공식이지만 이를 변형하면 각각의 미지수를 모두 구할 수 있습니다.

   • 예를 들어서 수열의 마지막 항을 알지만 첫 번째 항을 모를 경우, a₁ = (n - 1) × d - a_n 공식을 사용하세요.
   • 첫 번째 항과 마지막 항을 알고 있지만 전체 항의 개수를 모를 경우, n을 구하는 공식을 사용하세요. 공식은 n = (a_n - a₁) ÷ d + 1입니다.
   • 기초 방정식 개념과 규칙을 복습하고 싶다면 인터넷에서 검색해보세요. 무료 동영상 강의가 많이 있습니다.
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   첫 번째 항을 구하세요. 등차수열의 50번째 항이 300이고 공차는 +7이라는 사실을 알 경우, 첫 번째 항을 구할 수 있습니다. 원래의 공식을 a₁을 구하는 공식을 바꿔서 사용하세요.

   • a₁을 구하는 공식은 a₁ = (n - 1) × d - a_n입니다. 각각의 값을 대입하세요. 50번째 항은 300이므로 n = 50, n - 1 = 49, a_n = 300 그리고 공차(d)는 7입니다. 공식에 값을 전부 대입하면 a₁ = 49 × 7 - 300이 됩니다. 그러므로 a₁ = 343 - 300 = 43입니다. 수열의 첫 번째 항은 43이고 공차는 7입니다. 그리고 전체 수열은 $43,50,57,64,71,78$…$293,300$입니다.
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   수열의 길이(전체 항의 개수)를 구하세요. 첫 번째 항과 마지막 항 그리고 공차를 알 경우, 수열의 길이를 알 수 있습니다. n = (a_n - a₁) ÷ d + 1 공식을 사용하세요.

   • 첫 번째 항은 100, 마지막 항은 2,856 그리고 공차는 +13이라고 가정할 경우 a₁ = 100, d = 13, a_n = 2856입니다. 각각의 값을 공식에 대입해서 수열의 길이를 구하세요. $n={\frac {2856-100}{13}}+1={\frac {2756}{13}}+1=212+1=213$이므로 전체 항의 개수는 213입니다.
   • 전체 수열은 $100,113,126,139$…$2843,2856$입니다.
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경고

• 수열의 종류에는 여러 가지가 있습니다. 문제에서 주어진 수열이 등차수열이라고 무조건 단정짓지 마세요. 적어도 두 쌍의 항 또는 세, 네 쌍의 항을 보고 차이값이 같은지 확인하세요.

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팁

• 이전 항에서 일정한 값을 더하느냐 혹은 빼느냐에 따라서 d(공차)는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있습니다.

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