Comment trouver la surface totale d’un prisme triangulaire

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Calculer l’aire des faces latérales

Trouver l’aire de la base

Calculer l’aire totale de la surface du prisme

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Références

Un prisme est un solide (une forme en trois dimensions) avec deux bases polygonales parallèles et identiques . Un prisme triangulaire a des bases triangulaires ainsi que trois faces latérales. Pour calculer l’aire totale de sa surface, vous devez trouver l’aire des faces latérales et celle des bases. Il faut ensuite les additionner pour déterminer l’aire totale. Ces étapes sont représentées par la formule $A=L+2B$, $A$ étant l’aire de toute la surface du solide, $L$ l’aire totale des faces latérales et $B$ l’aire d’une base.

Étapes

Partie 1

Partie 1 sur 3:

Calculer l’aire des faces latérales

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   Écrivez la formule mathématique. La formule pour calculer l’aire des faces latérales d’un prisme triangulaire est $L=P\times H$, $L$ étant l’aire latérale du prisme, $P$ le périmètre d’une de ses bases et $H$ sa hauteur .

   • L’aire latérale est l’aire totale de toutes les faces qui ne sont pas des bases .
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   Déterminez le périmètre d’une base. Étant donné que la base est triangulaire, elle a trois côtés. La formule de calcul du périmètre d’un triangle est $P=a+b+c$, avec $a$, $b$ et $c$ correspondant chacun à un côté du polygone . Vous pouvez calculer le périmètre de n’importe laquelle des deux bases du prisme, car elles sont identiques .

   • Par exemple, si la base a trois côtés mesurant 4, 5 et 6 cm, vous devez les additionner pour calculer le périmètre du triangle : $6+5+4=15$. Cette base aurait donc un périmètre de 15 cm.
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   Appliquez la formule. Dans la formule de calcul de l’aire latérale du prisme, remplacez $P$ par le périmètre que vous venez de calculer.

   • Si nous reprenons l’exemple choisi, remplacez $P$ par 15, ce qui donne : $L=15H$.
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   Mesurez la hauteur du prisme. Remplacez $P$ dans la formule par le résultat trouvé. La hauteur du prisme est la longueur d’un côté d’une des faces latérales reliant les deux bases du solide. En général (mais pas toujours), la hauteur d’un prisme correspond au côté le plus long d’une des faces latérales.

   • Par exemple, si notre prisme a une hauteur de 9 cm, la formule se présentera ainsi : $L=15\times 9$.
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   Multipliez $$ P {\displaystyle P} par $$ H {\displaystyle H} . Multipliez le périmètre d’une base par la hauteur du prisme pour déterminer son aire latérale en unités carrées. Il s’agit de la première valeur nécessaire pour calculer l’aire totale de la surface du solide. Notez-la puis passez au calcul de l’aire de la base.

   • Dans notre exemple, $15\times 9=135$, le prisme a donc une aire latérale de 135 cm².
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Partie 2

Partie 2 sur 3:

Trouver l’aire de la base

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   Notez la formule nécessaire. Étant donné que le prisme a des bases triangulaires, vous devez utiliser la formule de calcul de l’aire d’un triangle : $A={\frac {BH}{2}}$, $A$ étant l’aire du triangle, $B$ la longueur de sa base et $H$ sa hauteur .

   • Il s’agit de la façon la plus commune de calculer l’aire d’un triangle. Si vous ne connaissez pas la hauteur du polygone, vous pouvez également calculer son aire à partir de la longueur de ses trois côtés.
   • Vous avez seulement besoin de déterminer l’aire d’une des bases du prisme, car elles sont toutes deux identiques et ont donc exactement la même aire .
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   Appliquez la formule. Dans la formule de calcul de l’aire du triangle, remplacez $B$ par la longueur de la base du polygone. Faites attention à ne pas la confondre avec un autre côté du triangle. Il s’agit du côté perpendiculaire à la hauteur.

   • Par exemple, si le triangle a une base de 6 cm, la formule se présentera ainsi : $A={\frac {6H}{2}}$.
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   Ajoutez la hauteur du triangle. Remplacez $H$ par cette valeur dans la formule. Multipliez la base par la hauteur et divisez le résultat par deux. Vous obtiendrez l’aire de la base triangulaire en unités carrées. Il s’agit de la deuxième valeur nécessaire pour calculer l’aire de la surface totale du prisme.

   • Dans notre exemple, si le triangle a une hauteur de 3,3 cm, la formule complète se présentera ainsi :
     $A={\frac {6\times 3,3}{2}}$
     $A={\frac {19,8}{2}}$
     $A=9,9$
     La base du prisme a donc une aire de 9,9 cm².
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Partie 3

Partie 3 sur 3:

Calculer l’aire totale de la surface du prisme

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   Écrivez la formule. La formule pour calculer l’aire de la surface d’un prisme est $A=L+2B$, $A$ étant l’aire totale de sa surface, $L$ son aire latérale et $B$ l’aire d’une de ses bases .
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   Placez l’aire latérale dans la formule. Remplacez $L$ par l’aire totale de la surface des trois faces latérales du prisme (celles qui ne sont pas des bases). Vous devez déjà avoir calculé cette valeur. Veillez à la mettre à la place de $L$ dans la formule.

   • Par exemple, si le prisme triangulaire a une aire latérale de 135 cm², la formule se présentera ainsi : $A=135+2B$.
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   Ajoutez l’aire d’une base. Placez-la dans la formule à la place de $B$. Veillez à utiliser l’aire d’une seule base et non la somme des aires des deux bases.

   • Dans notre exemple, étant donné que le prisme a une base avec une aire de 9,9 cm², la formule doit à présent s’écrire ainsi : $A=135+(2\times 9,9)$.
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   Terminez le calcul. Multipliez l’aire d’une base par 2 et ajoutez le résultat à l’aire totale des faces latérales. Vous obtiendrez l’aire de la surface entière du prisme triangulaire en unités carrées.

   • Par exemple :
     $A=135+(2\times 9,9)$
     $A=135+19,8$
     $A=154,8$
     L’aire totale de la surface d’un prisme triangulaire d’une hauteur de 9 cm et dont la base a des côtés mesurant 4, 5 et 6 cm est donc 154,8 cm².
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