Logarithmen verstehen

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Vorgehensweise

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Literaturhinweise

Findest du Logarithmen verwirrend? Keine Angst! Ein Logarithmus (die Abkürzung ist log) ist eigentlich nur ein Exponent in einer anderen Form.

log_ax = y ist das gleiche wie a^y = x.

Vorgehensweise

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   Der Unterschied zwischen der logarithmischen und exponentiellen Darstellung. Der erste Schritt ist einfach. Wenn der Ausdruck einen Logarithmus enthält (zum Beispiel: log_ax = y), dann ist es eine logarithmische Aufgabe. Ein Logarithmus wird mit "log" notiert. Wenn der Ausdruck einen Exponenten enthält (eine Variable mit einer kleinen Zahl oben rechts), dann ist es eine Exponenten-Aufgabe.

   • Logarithmisch: log_ax = y
   • Exponentiell: a^y = x
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   Die Bestandteile des Logarithmus. Die Basis ist die kleine Zahl, die unten rechts der Buchstaben "log" steht -- 2 in diesem Beispiel. Das Argument ist die Zahl, die als nächstes folgt -- 8 in diesem Beispiel. Die Lösung ist die Zahl, die dem logarithmischen Ausdruck gleich gesetzt wird -- 3 in diesem Beispiel.
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   Der Unterschied zwischen dem Zehner-Logarithmus und dem natürlichen Logarithmus.

   • Zehner-Logarithmen haben die Basis 10 (zum Beispiel log₁₀x). Wenn ein Logarithmus ohne Basis geschrieben wird (als log x), dann wird davon ausgegangen, dass er die Basis 10 hat.
   • Natürliche Logarithmen: Es sind Logarithmen mit der Basis e. e ist eine mathematische Konstante, die gleich ist dem Grenzwert von (1 + 1/n)ⁿ, wenn n gegen unendlich geht, also ungefähr 2,718281828. Diese Zahl hat viel mehr Nachkommastellen, als hier angegeben sind. log_ex wird oft als ln x geschrieben.
   • Andere Logarithmen: Andere Logarithmen haben eine andere Basis als 10 oder e. Binäre Logarithmen haben die Basis 2 (zum Beispiel log₂x). Hexadezimale Logarithmen haben die Basis 16 (zum Beispiel log₁₆x (oder log_#0fx in der Hexadezimal-Notation). Logarithmen zur Basis 64 sind wirklich sehr komplex, und werden normalerweise nur in dem Bereich der Advanced Computer Geometry (ACG) (Fortgeschrittene Computer-Geometrie) verwendet.
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   Die Eigenschaften des Logarithmus und ihre Anwendungen. Die Eigenschaften des Logarithmus ermöglichen dir, logarithmische und exponentielle Gleichungen zu lösen, die du sonst nicht lösen könntest. Sie funktionieren nur, wenn die Basis a und das Argument positiv sind. Die Basis a darf auch nicht 1 oder 0 sein. Die Eigenschaften des Logarithmus werden unten mit eigenen Beispielen und Zahlen statt Variablen aufgelistet. Diese Eigenschaften sind nützlich beim Lösen von Gleichungen.

   • log_a(xy) = log_ax + log_ay
     Ein Logarithmus von zwei Zahlen x und y, die mit einander multipliziert werden, kann in zwei einzelne Logarithmen aufgespalten werden: Ein eigener Logarithmus für jeden der Faktoren, die dann addiert werden. Diese Regel kann natürlich auch umgekehrt angewendet werden.
     
     Beispiel:
     log₂16 =
     log₂8*2 =
     log₂8 + log₂2
   • log_a(x/y) = log_ax - log_ay
     Ein Logarithmus von zwei Zahlen x and y, die durch einander geteilt werden, kann in zwei einzelne Logarithmen aufgespalten werden: Einen Logarithmus für den Dividenden x minus den Logarithmus des Divisors y.
     
     Beispiel:
     log₂(5/3) =
     log₂5 - log₂3
   • log_a(x^r) = r*log_ax
     Wenn das Argument x des Logarithmus einen Exponenten r hat, dann kann der Exponent vor den Logarithmus gezogen werden.
     
     Beispiel:
     log₂(6⁵)
     5*log₂6
   • log_a(1/x) = -log_ax
     Schau dir das Argument an. (1/x) ist gleich x^-1. Dies ist nur eine andere Version der vorhergehenden Eigenschaft.
     
     Besipiel:
     log₂(1/3) = -log₂3
   • log_aa = 1
     Wenn die Basis a dasselbe ist wie das Argument a, dann ist die Lösung 1. Man kann es sich leicht merken, wenn man sich den Logarithmus in exponentieller Form vorstellt. Wie oft muss man a mit sich selbst multiplizieren, um a zu erhalten? Einmal.
     
     Beispiel:
     log₂2 = 1
   • log_a1 = 0
     Wenn das Argument 1 ist, dann ist die Lösung immer 0. Diese Eigenschaft gilt, denn jede Zahl mit Exponent 0 ist gleich 1.
     
     Beispiel:
     log₃1 =0
   • (log_bx/log_ba) = log_ax
     Diese Regel wird "Basenwechsel" genannt. Zwei Logarithmen mit der Basis b, die durch einander geteilt werden, ist gleich einem einzigen Logarithmus. Das Argument a des Nenners wird die neue Basis, und das Argument x des Zählers wird das neue Argument. Man kann es sich leicht merken, wenn du dir die Basis als den Boden eines Objektes vorstellst und den Nenner als Boden eines Bruches.
     
     Beispiel:
     log₂5 = (log 5/log 2)
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   Übe, die Eigenschaften zu benutzen. Man kann sich diese Eigenschaften am Besten einprägen, wenn man sie immer wieder beim Lösen von Gleichungen benutzt. Hier ist ein Beispiel für eine Gleichung, die man am Besten mit einer der Eigenschaften löst:
   
   4x*log2 = log8 Teile beide Seiten durch log2.
   4x = (log8/log2) Verwende den Basenwechsel.
   4x = log₂8 Berechne den Wert des Logarithmus.4x = 3 Teile beide Seiten durch 4. x = 3/4 Gelöst. Das ist sehr nützlich. Jetzt verstehe ich Logarithmen.
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Tipps

• "2,7jacksonjackson" ist eine nützliche Eselsbrücke für e. 1828 wurde Andrew Jackson gewählt und die Eselsbrücke bedeutet 2,718281828.

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