Die durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch eine Funktion ausgedrückt, die das durchschnittliche Ausmaß der Veränderung darstellt, mit der sich eine Sache im Verhältnis zu einer anderen verändert. In der Mathematik wird sie mit A(x) bezeichnet. Du kannst dasselbe Konzept anwenden, um die Veränderung einer mathematischen Funktion zu messen. Du kannst auch die durchschnittliche Änderungsrate verschiedener physikalischer Größen berechnen. Die durchschnittliche Änderungsrate der Position eines Gegenstandes bezeichnen wir schlicht als Geschwindigkeit. Du kannst außerdem auch die durchschnittliche Wachstumsrate lebender Pflanzen oder Tiere berechnen.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen

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Kenne die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit. Nehmen wir an, du möchtest deine durchschnittliche Reisegeschwindigkeit wissen, hast aber keinen Geschwindigkeitsmesser. Es ist möglich, die Geschwindigkeit mit ein paar einfachen Messungen und Berechnungen zu errechnen. Die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Gegenstandes findet man, indem man die Veränderung der Position durch die Veränderung der Zeit dividiert. Das kann mathematisch so ausgedrückt werden:^{[1]XForschungsquelle}
- ${\text{Geschwindigkeit}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$
- In dieser Funktion steht $\Delta x$ für die Veränderung der Position oder die zurückgelegte Distanz. Der Nenner $\Delta t$ steht für die Veränderung der Zeit.
2
Stelle die Startposition fest. Bei der durchschnittlichen Geschwindigkeit eines Gegenstandes wird die Veränderung seiner Position oder seines Standorts über einen bestimmten Zeitraum berechnet. Daher musst du für deine Messung zu Beginn die Startposition ermitteln.^{[2]XForschungsquelle}
- Wenn du zum Beispiel die durchschnittliche Gehgeschwindigkeit von deinem Haus zu deiner Schule am anderen Ende der Stadt berechnen möchtest, ist der Startpunkt dein Haus.
- Die „Startposition“ muss nicht dein echter Anfangspunkt sein. Du könntest zum Beispiel die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Rennautos bei einem Rennen berechnen. Dafür kannst du jeden Punkt auf der Strecke als „Startpunkt“ für deine Messung wählen.
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Miss die Distanz bis zum Endpunkt. Du kannst die Durchschnittsgeschwindigkeit über jede Distanz oder Zeitdauer deiner Wahl berechnen. Der einzige begrenzende Faktor ist die Qualität oder Präzision deines Messinstruments. Die Geschwindigkeit eines Läufers zu berechnen erfordert zum Beispiel eine Genauigkeit innerhalb weniger Zentimeter, während die Geschwindigkeit eines Rennwagens zu berechnen nur innerhalb einiger Meter exakt sein muss.^{[3]XForschungsquelle}
- Um deine Gehgeschwindigkeit von Zuhause zur Schule zu messen, könntest du die Distanz entweder herausfinden, indem du dir einen Stadtplan ansiehst oder indem du die Route mit einem Wegstreckenzähler eines Autos abfährst. Nehmen wir für dieses Beispiel an, dass die Distanz 0,6 km beträgt.
- Beim einem Rennauto des Indy 500 kannst du davon ausgehen, dass die Rennstrecke des Indianapolis Speedway 2,5 Meilen lang ist. Überprüfe daher die Position eines Autos an einer beliebigen Stelle der Rennstrecke. Wenn das Auto wieder an diesen Punkt kommt, ist die Distanz 2,5 Meilen.
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Miss die verbrauchte Zeit. Für die durchschnittliche Geschwindigkeit musst du die Zeitdauer messen, die vorbeigeht. Wie bei der Messung der Distanz ist dafür mal mehr, mal weniger Präzision notwendig, abhängig von der Geschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit von Spitzenläufern zu messen brauchst du zum Beispiel eine Stoppuhr, die Zehntel- oder Hundertstelsekunden misst, mit einer gewöhnlichen Uhr mit einem zweiten Zeiger kannst du jedoch schon die Geschwindigkeit eines Rennautos auf einer Strecke messen.^{[4]XForschungsquelle}
- Bei der Gehzeit zu deiner Schule kannst du wahrscheinlich eine Armbanduhr zur Zeitmessung verwenden. Nehmen wir für dieses Beispiel an, dass dein Gang zur Schule 15 Minuten dauert.
- Wenn du ein Rennauto auf dem Indianapolis Speedway beobachtest, kannst du bei jeder Runde die Zeit mit einer Uhr oder Stoppuhr messen. Ein schnelles Auto braucht ungefähr 45 Sekunden, um eine Runde abzuschließen.
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Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit. Nachdem du die Maße genommen hast, die du brauchst, kannst du sie einfach in die Formel für die Berechnung der Geschwindigkeit einsetzen und die Geschwindigkeit des Gegenstandes herausfinden. Beachte die Maßeinheiten, die du für die Berechnung verwendest.^{[5]XForschungsquelle}
- Beim Gang zur Schule betrug die gemessene Distanz 0,6 Kilometer und die Zeit war 15 Minuten. Setze diese Informationen wie folgt in die Formel ein:
  - ${\text{Geschwindigkeit}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {0,6}{15}}=0,04$ Kilometer/Minute.
- Das Rennauto legte 2,5 Meilen in 45 Sekunden zurück. Diese Daten werden wie folgt in die Formel für die Berechnung der Geschwindigkeit ein:
  - ${\text{Geschwindigkeit}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {2,5}{45}}=0,0556$ Meilen/Sekunde.
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Rechne die Maßeinheiten gegebenenfalls um. Manchmal kann das Endergebnis nicht in den Einheiten stehen, die am nützlichsten für dich sind. Wenn du die Geschwindigkeit in anderen Einheiten angeben sollst oder möchtest, musst du sie mit einem Umrechnungsfaktor multiplizieren.
- Die Geschwindigkeit eines Rennautos wird zum Beispiel häufig in Meilen pro Stunde angegeben, nicht Meilen pro Sekunde. Weil eine Stunde 3.600 Sekunden entspricht, kannst du die errechnete Geschwindigkeit umwandeln, indem du mit 3.600 Sekunden pro Stunde multiplizierst.^{[6]XForschungsquelle}
- $0,0556{\text{ Meilen pro Sekunde}}*3600{\text{ Sekunden pro Stunde }}=200,16{\text{ Meilen pro Stunde}}$ .
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Die durchschnittliche Wachstumsrate finden

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Verstehe die Formel zum Messen der durchschnittlichen Wachstumsrate. Bei Sachen die wachsen, ob sie an Höhe oder an Gewicht zunehmen, kannst du die Wachstumsrate berechnen, indem du die Veränderung der Eigenschaft ermittelst, die du messen möchtest und sie durch die Zeit teilst. Diese Formel kann mathematisch so ausgedrückt werden:^{[7]XForschungsquelle}
- ${\text{Rate}}={\frac {\Delta h}{\Delta t}}$ oder ${\frac {\Delta w}{\Delta t}}$
- In diesen zwei Beispielen steht $h$ für die Höhe und $w$ für das Gewicht. In beiden steht $t$ für die verbrauchte Zeit.
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Entscheide, für welchen Zeitraum du die Wachstumsrate messen möchtest. Manche Pflanzen, wie Riesenbambus, wachsen sehr schnell, sodass innerhalb von Stunden sichtbare Veränderungen bemerkbar sind. Um etwa die Wachstumsrate eines Kindes zu berechnen, könnten Monate oder ein Jahr lang oder mehr keine Veränderungen auftreten. Du musst einen Zeitraum auswählen, der zu dem passt, was du misst.^{[8]XForschungsquelle}
- Nehmen wir an, eine Schulklasse pflanzt Bohnensamen ein und beginnt, ihr Wachstum zu messen, sobald die erste Sprosse auftritt. Eine angemessene Messzeit könnte ungefähr ein Monat in Tagen gemessen sein.
- Wissenschaftler, die einen verwaisten Babyelephanten großzogen, wollten seine Wachstumsrate in den ersten 90 Lebenstagen messen.
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Berechne die Größe zu Beginn. Um eine Wachstumsrate zu berechnen, brauchst du einen Anfangspunkt und die Messung der Größe zu diesem Zeitpunkt.^{[9]XForschungsquelle}
- Bei dem Beispiel mit den Bohnenpflanzen der Schüler wählten sie als Startpunkt den Tag, an dem die erste Sprosse auftrat. Die Höhe ist zu diesem Zeitpunkt mit 0 cm bestimmt.
- Beim Babyelefanten maßen Tierärzte sein Gewicht am Tag seiner Geburt. Sein Anfangsgewicht betrug 90 kg.^{[10]XForschungsquelle}
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Miss die abschließende Höhe oder das Gewicht. Miss nachdem die Zeit deiner Studie abgelaufen ist die Höhe oder das Gewicht des Objektes, dessen Wachstum du studierst.^{[11]XForschungsquelle}
- Bei den Bohnenpflanzen war die durchschnittliche Höhe der Pflanzen der Schüler am 30. Tag 60 cm. Weil die Pflanzen alle mit einer Höhe von 0 angefangen haben, beträgt das Maß des Wachstums 60 cm.
- Bei dem Elefanten maßen die Tierärzte nach dem 90. Tag der Studie sein Gewicht mit 180 kg.
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Verwende die Wachstumsformel für die Höhe oder das Gewicht. Gib die Daten, die du gemessen hast, in die Formel ein und führe die Berechnungen durch, um die Wachstumsrate herauszufinden.
- Bei dem Beispiel mit den Bohnen sieht die Berechnung so aus:
  - ${\text{Rate}}={\frac {60{\text{ cm}}}{30{\text{ Tage}}}}=2{\frac {\text{ cm}}{\text{ Tag}}}$
- Für die Wachstumsrate des Babyelefanten musst den Wert der Gewichtsveränderung im Nenner als Teil der Rechnung ausrechnen:
  - ${\text{Rate}}={\frac {180-90{\text{ kg}}}{90{\text{ Tage}}}}$
  - ${\text{Rate}}={\frac {90{\text{ kg}}}{90{\text{ days}}}}$
  - ${\text{Rate}}=1{\frac {\text{kg}}{\text{Tag}}}$
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Die Änderungsrate einer Funktion berechnen

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Wisse über die Funktion Bescheid. In der Mathematik drückt eine Funktion das mathematische Verhältnis zwischen Zahlen aus, sodass man eine Zahl in die Funktion einsetzt und eine andere Zahl als Ergebnis hat. Funktionen können allgemein grafisch dargestellt werden. Sie können als gerade Linie, als Parabeln oder wie zufällig aussehende Bögen präsentiert werden, die keine einfache Definition haben.^{[12]XForschungsquelle}
- Ein paar Beispiele für Funktionen sind:
  - $y(x)=3x+4$ (die Funktion einer geraden Linie)
  - $y(x)=sin(x)$ (eine Funktion einer Wellenlinie)
  - $y(x)=x^{2}$ (eine Funktion einer Parabel)
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Wähle Werte für x aus. Um die durchschnittliche Wachstumsrate einer Funktion zu finden, misst man den Wert der Funktion an zwei unterschiedlichen Punkten entlang der x-Achse. Wähle einen Wert für x, mit dem du die Messung beginnen möchtest und lege dann im Vorhinein fest, wie weit du an der Achse entlang voranschreiten möchtest.
- Abhängend von deiner Absicht könntest du einen engeren oder breiteren Bereich für die x-Werte auswählen, die du zur Messung heranziehst. In dieser Übung wählen wir den ersten x-Wert bei 0 und den zweiten x-Wert bei 3.
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Berechne die Werte der Funktion. Bei der Änderungsrate einer Funktion wird gemessen, wie sich die y-Werte in einer bestimmten horizontalen Distanz auf der x-Achse verändern. Um diese Veränderung zu berechnen, musst du die y-Werte an jedem gewählten Wert von x kennen.^{[13]XForschungsquelle}
- Wähle für die Beispielfunktion $y(x)=x^{2}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle y(x)=x^{2}}$ zum Beispiel die zwei Werte x=0 und x=3. Die entsprechenden Werte für $y(x)$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle y(x)}$ sind somit:
  - $y(0)=0^{2}=0$
  - $y(3)=3^{2}=9$
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Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion. Die Änderungsrate einer Funktion kann als Formel so dargestellt werden:^{[14]XForschungsquelle}
- $A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
- In dieser Formel stellt $f(x)$ den Wert der Funktion beim ersten gewählten x-Wert dar. $f(x+h)$ ist der Wert der Funktion in einem gewissen Abstand beim zweiten Wert für x. Der Nenner $h$ ist der Abstand zwischen den beiden Messungen.
- $h$ kann auch als $\Delta x$ geschrieben werden, da es die Distanz oder die Veränderung zwischen den gewählten x-Werten ist.
- Bei der Funktion $y(x)=x^{2}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle y(x)=x^{2}}$ kannst du die durchschnittliche Änderungsrate von 0 zu 3 folgendermaßen berechnen:
  - $A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {9-0}{3-0}}=3$ .
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Interpretiere das Ergebnis. Bei dieser Funktion ist die Änderungsrate eine Messung davon, wie stark sich der Wert der Funktion vertikal verändert, wenn man sich horizontal auf der x-Achse entlang bewegt. In diesem Fall beginnt die Parabel $y(x)=x^{2}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle y(x)=x^{2}}$ an dem Punkt (0,0) und steigt in dem gemessenen Intervall zu dem Punkt (3,9) an. Auch wenn die Funktion selber keine gerade Linie ist, wird die durchschnittliche Änderungsrate als die Steigung der geraden Linie gemessen, die diese beiden Punkte miteinander verbindet. Diese Linie steigt drei Einheiten an für jede einzelne Einheit, um die x steigt.^{[15]XForschungsquelle}
- Beachte, dass die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion unterschiedlich sein kann, je nach Abschnitt, den du zum Messen wählst. Bei dem Beispiel mit der Parabel ist die durchschnittliche Änderungsrate von x=0 bis x=3 gleich 3. Bei derselben Funktion verändert sich die durchschnittliche Änderungsrate aber, wenn sie von x=3 bis x=6 gemessen wird, ebenfalls ein Abstand von drei Einheiten, zu 8,33.
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Tipps

Es ist wichtig, bei den Maßeinheiten für die berechnete Änderungsrate aufmerksam zu sein.
Im Mathematikunterricht lernst du, die Ableitung einer Funktion zu berechnen, um die momentane Änderungsrate herauszufinden. Anstatt den Durchschnitt in einem Bereich von x-Werten oder über einen messbaren Zeitabschnitt hinweg ermöglicht die das, die Änderungsrate in einem einzigen Moment zu finden. In anderen Worten heißt das, der Bereich der x-Werte wird theoretisch Null. Sieh dir für mehr Informationen dazu das Thema Ableitungen an.

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