Algebraische Brüche vereinfachen

Algebraische Brüche sehen auf den ersten Blick unglaublich schwierig aus, und für Ungeübte kann es entmutigend erscheinen, sie anzugehen. Bei einer Mischung aus Variablen, Zahlen und sogar Exponenten ist es schwer zu wissen, wo man anfangen soll. Zum Glück jedoch gelten die gleichen Regeln, die beim Vereinfachen von normalen Brüchen, wie 15/25, nötig sind, auch bei algebraischen Brüchen.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Brüche vereinfachen

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Die Fachbegriffe bei algebraische Brüchen. Die folgenden Begriffe werden in den Beispielen verwendet, und kommen in Aufgaben mit algebraischen Brüchen vor:
- Zähler: Die obere Zahl eines Bruches (d.h. (x+5)/(2x+3)).
- Nenner: Die untere Zahl eines Bruches (d.h. (x+5)/(2x+3)).
- Teiler: Eine Zahl, deren Vielfaches eine andere Zahl ergibt. Zum Beispiel sind die Teiler von 15 genau 1, 3, 5 und 15. Die Teiler von 4 sind 1, 2 und 4.
- Gemeinsamer Teiler: Dies ist eine Zahl, die ein Teiler sowohl des oberen wie des unteren Teil eines Bruches ist. Beispielsweise ist in dem Bruch 3/9 der gemeinsame Teiler 3, da beide Zahlen durch 3 geteilt werden können.
- Vereinfachter Ausdruck: Dies beinhaltet die Beseitigung aller gemeinsamen Teiler und das Gruppieren gleicher Variablen (5x + x = 6x), bis wir die einfachste Form eines Bruchs, einer Gleichung oder einer Aufgabe haben. Wenn wir nichts mehr mit dem Bruch machen können, ist er vereinfacht.
Dies sind genau die gleichen Schritte, die wir durchführen, um algebraische Brüche zu vereinfachen.^{[1]XForschungsquelle} Nehmen wir das Beispiel 15/35. Um einen Bruch zu vereinfachen, müssen wir einen gemeinsamen Teiler finden. In diesem Fall können beide Zahlen durch fünf geteilt werden, so dass wir die 5 aus dem Bruch entfernen können:
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7
Jetzt können wir gleiche Koeffizienten heraus kürzen. In diesem Fall können wir die zwei Fünfer streichen, so dass wir das vereinfachte Ergebnis 3/7 erhalten.
Im vorherigen Beispiel konnten wir leicht die 5 aus 15 entfernen, und das gleiche gilt für komplexere Ausdrücke wie 15x - 5. Suche einen Teiler, den beide Zahlen gemeinsam haben. Hier ist das Ergebnis 5, denn man kann sowohl 15x als auch -5 durch die Zahl fünf teilen. Wie vorher entfernen wir den gemeinsamen Teiler und multiplizieren ihn mit dem, was übrig ist.
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Um deine Arbeit zu überprüfen, multipliziere einfach die fünf wieder mit dem neuen Ausdruck (im Zähler und im Nenner) - du wirst am Ende die gleichen Zahlen erhalten, mit denen du angefangen hast.
Das gleiche Prinzip wie bei einfachen Brüchen gilt auch für algebraische Brüche. Dies ist die einfachste Art, Brüche zu vereinfachen, während du daran arbeitest. Lass uns den Bruch (x+2)(x-3)(x+2)(x+10) betrachten. Beachte, dass der Term (x + 2) sowohl im Zähler (oben) wie auch im Nenner (unten) vorkommt. Auf diese Weise kannst du ihn entfernen, um den algebraischen Bruch zu vereinfachen, genau so wie du die 5 aus 15/35 entfernt hast: ~~(x+2)~~(x-3) → (x-3)~~(x+2)~~(x+10) → (x+10)Damit haben wir unser endgültiges Ergebnis: (x-3)/(x+10)
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Algebraische Brüche vereinfachen

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Das erste, was zu tun ist, wenn man einen algebraischen Bruch vereinfachen will, ist, jeden Teil des Bruchs zu vereinfachen. Beginne mit dem oberen Teil, und klammere so viele Teiler aus, wie du kannst. ^{[2]XForschungsquelle} In diesem Abschnitt verwenden wir das Beispiel:
9x-3
15x+6
Fange mit dem Zähler an: 9x - 3. Es gibt einen gemeinsamen Teiler von 9x und -3: 3. Klammere die 3 aus wie bei einer normalen Zahl, so dass wir 3 * (3x-1) erhalten. Dies ist unser neuer Zähler:
3(3x-1)
15x+6
^{[3]XForschungsquelle} Um obiges Beispiel fortzusetzen, betrachten wir nun den Nenner, 15x + 6. Auch hier suchen wir nach einer Zahl, durch die beide Teile geteilt werden können. Auch hier können wir die 3 ausklammern, so dass wir 3 * (5x + 2) erhalten. Wir schreiben unseren neuen Nenner als:
3(3x-1)
3(5x+2)
Dies ist die Phase, wo wir den Bruch wirklich vereinfachen. Nimm alle Terme, die sowohl im Zähler als auch Nenner vorkommen und entferne sie. In diesem Fall können wir die 3 sowohl von oben als auch von unten entfernen.
3(3x-1) → (3x-1)
3(5x+2) → (5x+2)
Ein Bruch ist vereinfacht, wenn es keine weiteren gemeinsamen Teiler oben und unten gibt. Denke daran, dass keine Faktoren aus dem Inneren der Klammer entfernt werden können - in der Beispielaufgabe kann man das x von 3x und 5x nicht ausklammern, da die vollständigen Terme eigentlich (3x -1) und (5x + 2) sind. Somit ist das Beispiel vollständig vereinfacht, und wir erhalten das endgültige Ergebnis:
(3x-1)
(5x+2)
Der beste Weg zu lernen ist, immer wieder zu versuchen, algebraische Brüche zu vereinfachen. Die Ergebnisse stehen unter den Aufgaben.
4(x+2)(x-13)
(4x+8)Ergebnis: (x=13)
2x²-x
5xAnswer:(2x-1)/5
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Tricks für schwierige Aufgaben

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Angenommen, wir haben den Bruch:
3(x-4)
5(4-x)
Beachte, dass (x- 4) und (4-x) fast identisch sind, aber man kann sie nicht kürzen, weil sie umgekehrte Vorzeichen haben. (x - 4) kann jedoch als -1 * (4 - x) geschrieben werden, in der gleichen Weise wie (4 + 2x) als 2 * (2 + x) geschrieben werden kann. Dies wird "Ausklammerung des Vorzeichens" genannt.
-1 * 3(4-x)
5(4-x)
Jetzt können wir leicht die zwei identischen (4-x) entfernen:
-1 * 3~~(4-x)~~
5~~(4-x)~~
und erhalten unser endgültiges Ergebnis -3/5
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Erkenne beim Arbeiten die Differenz von zwei Quadraten. Die Differenz von zwei Quadraten ist einfach eine Quadrat-Zahl, die von einer anderen subtrahiert wird, wie der Ausdruck (a² - b²). Die Differenz von Quadraten kann immer vereinfacht werden zu:
a² - b² = (a+b)(a-b)Dies kann unglaublich hilfreich sein bei der Suche nach gleichen Termen in algebraischen Brüchen.
- Beispiel: x² - 25 = (x+5)(x-5)
Polynome sind komplexe algebraische Ausdrücke mit mehr als zwei Termen, wie x² + 4x + 3. Glücklicherweise können viele Polynome durch Polynomfaktorisierung vereinfacht werden. Obiger Term, zum Beispiel, kann umgeschrieben werden als (x+3)(x+1).
Dies ist besonders hilfreich in Ausdrücken mit Exponenten, wie x⁴ + x². Du kannst die Variable mit dem größten gemeinsamen Exponenten als Faktor ausklammern. In diesem Fall ist x⁴ + x² = x²(x² + 1).
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Tipps

Klammere immer die größtmöglichen Zahlen aus, um deinen Bruch vollständig zu vereinfachen.
Überprüfe deine Arbeit, wenn du ausklammerst, indem du wieder ausmultiplizierst - du solltest wieder die gleichen Zahlen wie am Anfang erhalten.

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