Обернений елемент

Обернений елемент — одне з понятть абстрактної алгебри.

Визначення ред.

Нехай $(M,\cdot )$ — множина $M$ з визначеною на ній бінарною операцією $\cdot$ . Нехай $x\in M$ — довільний елемент множини $M$ . Якщо справедливе рівняння

x\cdot y=e,

де

y\in M

, а

e\in M

— нейтральний елемент відносно операції

\cdot

, тоді

y

називається правим оберненим щодо

x

.

y\cdot x=e,

тоді

y

називається лівим оберненим до

x

.

x\cdot y=y\cdot x=e,

називається просто оберененим щодо

x

і позначається

x^{-1}

.

Наведене вище визначення дане в мультипликативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація $(M,+)$ , тоді оборотний елемент називається протилежним і позначається $-x$ .
Взагалі кажучи, один і той самий елемент $x\in M$ може мати декілька правих обернених і декілька лівих обернених елементів і вони не зобов'язані перетинатися.

Нехай операція $\cdot$ асоціативна. Тоді якщо для елемента $x\in M$ визначені ліві і праві обернені, то вони рівні і єдині.

Множина	Бінарна операція	Обернений елемент
Дійсні числа	$+$ (сума)	$\ -x$
Дійсні числа, що не дорівнюють нулю	$\cdot$ (множення)	$\ 1/x$
Функції виду $\ f:M\to M$	$\circ$ (композиція функцій)	$\ f^{-1}$ (обернена функція)