Автоморфізм
Автоморфізм моделі — ізоморфізм, який відображає модель на саму себе.
Всі автоморфізми даної моделі відносно операції композиції із тотожним відображенням як нейтральним елементом утворює групу.
Група автоморфізмів моделі позначається .
- Автоморфізм множини — перестановка елементів цієї множини (симетрична група).
- Автоморфізм групи — ізоморфізм групи на себе.
Автоморфізм називається внутрішнім, якщо існує такий елемент , що , а в іншому випадку він називається зовнішнім.
Множина всіх внутрішніх автоморфізмів групи G є підгрупою групи автоморфізмів, причому .[1]
Визначення
ред.Алгебраїчні структури
ред. є алгебраїчною структурою
разом з кінцевим числом потоків
. Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір
, група
або кільце
. Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм
взаємно однозначне відображення множини
на себе, яка є лінійною, це означає що:
для всіх
. Зворотна функція
в цих умовах є автоматично лінійною.
Теорія категорій
ред.Нехай об'єкт. Морфізм
є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим
. Тобто, відповідне відображення
існує, так що виконуються:
і
.
Автоморфізм груп
ред.- Група автоморфізмів групи
позначається
.
- Відображення
— автоморфізм групи, такі автоморфізми групи називаються внутрішніми.
Множина внутрішніх автоморфізмів позначається . Оскільки
та
, то
- нормальна підгрупа в
.
- Фактор-група
називається групою зовнішніх автоморфізмів групи, а її елементи - зовнішніми автоморфізмами. Відображення
визначає гомоморфізм
, ядро якого є центр групи
, так що
. *
- Всі нормальні підгрупи інваріантні під дією внутрішніх автоморфізмів. Підгрупи, інваріантні під дією всіх автоморфізмів групи, називаються характеристичними.
- Всяка група, що збігається зі своєю групою автоморфізмів, називається досконалою. Досконалими є всі симетричні групи
при
.
- Розширення групи, за допомогою групи автоморфізмів, називається голоморфом.
Приклади
ред., *
- поле характеристики більшої за 2.
Автоморфізми графів
ред.![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Asymmetric_tree.svg/220px-Asymmetric_tree.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Asymmetric_graph.svg/220px-Asymmetric_graph.svg.png)
Автоморфізм графу є відображення безлічі вершин графу на себе, що зберігає суміжність.[3] Множина таких автоморфізмів утворює вершинну групу графу або просто групу графу. Група підстановок на множині ребер називається реберною групою графу, яка тісно пов'язана з вершинною:
Реберна і вершинна групи графу ізоморфні тоді і тільки тоді, коли є не більше однієїізольованої вершини і немає компонент зв'язності, які складаються з єдиного ребра.[4]
Граф, для якого єдиний можливий автоморфізм це тотожне відображення, називається асиметричним. Найменше асиметричне дерево має сім вершин, а найменший асиметричний граф шість вершин і стільки ж ребер.
Для будь-якої кінцевої групи знайдеться такий кінцевий неорієнтований граф, що його група автоморфізмів ізоморфна даній.[5] Результат отриманий Р. Фрухтом, в основі докази - перетворення кольорового графу групи, узагальнення графу Келі.[6][7]
Примітки
ред.- ↑ Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 21
- ↑ Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 121
- ↑ Ф. Харарі Теорія графів стр. 190
- ↑ Ф. Харарі Теорія графів стр. 192
- ↑ А. І. Белоусов. Дискретна математика. — 4-е вид. — МГТУ імені Н. Э. Баумана. — С. 349.
- ↑ Ф. Харарі Теорія графів стр. 198—201
- ↑ О. Оре Теорія графів стр. 317
Див. також
ред.Література
ред.Українською
ред.- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
ред.- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
Посилання
ред.- Автоморфізм [Архівовано 20 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ