Vektorski potencial

Če vektorsko polje ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ dopušča vektorski potencial ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\!\,}$ , potem iz enakosti:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {\mathbf {A} }})=0\!\,}$

(divergenca rotorja je enaka nič) sledi:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {\mathbf {v} }}=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {\mathbf {A} }})=0\!\,,}$

kar pomeni, da mora biti ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ solenoidalno vektorsko polje.

Naj je:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\!\,}$

solenoidalno vektorsko polje, ki je dvakrat zvezno odvedljivo. Privzame se, da ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )\!\,}$ narašča vsaj tako hitro kot ${\displaystyle 1/\|{\vec {\mathbf {x} }}\|\!\,}$ za ${\displaystyle \|{\vec {\mathbf {x} }}\|\to \infty }$ . Naj je po definiciji:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}({\vec {\mathbf {x} }})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {\mathbf {v} }}({\vec {\mathbf {y} }})}{\left\|{\vec {\mathbf {x} }}-{\vec {\mathbf {y} }}\right\|}}\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {\mathbf {y} }}\!\,.}$

Potem je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ , oziroma:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {A} }}={\vec {\mathbf {v} }}\!\,.}$

Tu je ${\displaystyle \nabla _{y}\times \!\,}$ rotor za spremenljivko ${\displaystyle y\!\,}$ . Če se zamenja ${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ (${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ ) za gostoto toka ${\displaystyle j\!\,}$ retardiranega potenciala, se dobi ta formula. Z drugimi besedami, ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ ustreza jakosti magnetnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}\!\,}$ .

Integralno domeno se lahko omeji na katero koli enojno povezano območje ${\displaystyle \Omega \!\,}$ . To pomeni, da je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A'} }}\!\,}$ spodaj tudi vektorski potencial ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {A'} }}({\vec {\mathbf {x} }})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {\mathbf {v} }}({\vec {\mathbf {y} }})}{\left\|{\vec {\mathbf {x} }}-{\vec {\mathbf {y} }}\right\|}}\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {\mathbf {y} }}\!\,.}$

Posplošitev tega izreka je Helmholtzev razstavitveni izrek, ki pravi, da je mogoče vsako vektorsko polje razstaviti kot vsoto solenoidalnega vektorskega polja in potencialnega vektorskega polja.

Po analogiji z Biot-Savartovim zakonom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})\!\,}$ prav tako kvalificira kot vektorski potencial za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {A''} }}({\vec {\mathbf {x} }})=\int _{\Omega }{\frac {{\vec {\mathbf {v} }}({\vec {\mathbf {y} }})\times ({\vec {\mathbf {x} }}-{\vec {\mathbf {y} }})}{4\pi |{\vec {\mathbf {x} }}-{\vec {\mathbf {y} }}|^{3}}}d^{3}{\vec {\mathbf {y} }}\!\,.}$

Če se zamenja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}\!\,}$ (gostota električnega toka) za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}\!\,}$ (jakost magnetnega polja) za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\!\,}$ , se dobi Biot-Savartov zakon.

Naj je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p} }}\in \mathbb {R} \!\,}$ in naj je ${\displaystyle \Omega \!\,}$ zvezdasta domena s središčem na ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p} }}\!\,}$ , potem je s prevajanjem Poincaréjeve leme za diferencialne forme v svet vektorskih polj, tudi ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A'''} }}(\mathbf {x} )\!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {A'''} }}({\vec {\mathbf {x} }})=\int _{0}^{1}s(({\vec {\mathbf {x} }}-{\vec {\mathbf {p} }})\times ({\vec {\mathbf {v} }}(s{\vec {\mathbf {x} }}+(1-s){\vec {\mathbf {p} }}))\ \mathrm {d} s\!\,.}$

Vektorski potencial, ki ga dopušča solenoidalno polje, ni edinstven. Če je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\!\,}$ , potem je vektorski potencial tudi:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}+\nabla f\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle f\!\,}$ zvezno odvedljiva skalarna funkcija. To izhaja iz dejstva, da je rotor gradienta poljubnega skalarnega polja ${\displaystyle \varphi \!\,}$ polje ničelnih vektorjev:

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\vec {\mathbf {0} }}\!\,,}$

kar izhaja iz antisimetričnosti v definiciji rotorja in simetrije drugih odvodov.

Ta needinstvenost vodi do prostostne stopnje v formulaciji elektrodinamike ali umerilne svobode, in zahteva izbiro umeritve.

Električni potencial ${\displaystyle \varphi \!\,}$ je skalarna količina. Njegov negativni gradient je enak jakosti električnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}\!\,}$ :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}=-\nabla \,\varphi \!\,.}$

Rotor magnetnega vektorskega potenciala ${\displaystyle {\vec {\mathbf {A} }}\!\,}$ je enak gostoti magnetnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}\!\,}$ :

${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {A} }}={\vec {\mathbf {B} }}\!\,.}$

Kadar ni prostih tokov (${\textstyle \nabla \times {\vec {\mathbf {H} }}={\vec {\mathbf {0} }}\!\,}$ ), se lahko v elektrostatiki definira magnetni skalarni potencial ${\displaystyle \psi \!\,}$ :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}=-\nabla \psi \!\,.}$

V okviru posebne teorije relativnosti je naravno magnetni vektorski potencial združiti z električnim (skalarnim) potencialom v elektromagnetni potencial – (elektromagnetni) četverec potenciala. Ta za elektromagnetno polje igra vlogo vektorskega potenciala, za gravitacijsko polje pa ga igra na primer Lanczosev potencial.