Funktor

Naj bosta ${\displaystyle C\,}$ in ${\displaystyle D\,}$ kategoriji. Funktor ${\displaystyle F\,}$ iz ${\displaystyle C\,}$ v ${\displaystyle D\,}$ je preslikava ^[2],zuje vsak morfizem ${\displaystyle f:X\to Y\epsilon C\,}$ z morfizmom ${\displaystyle F(f):F(X)\to f(Y)\epsilon D\,}$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ za vsak objekt ${\displaystyle F(X)\epsilon D\,}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)\,}$ za vse morfizme ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ in ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$ .

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je ${\displaystyle F\,}$ funktor iz ${\displaystyle C\,}$ v ${\displaystyle D\,}$ kot preslikava za katero veljazuje vsak morfizem ${\displaystyle f:X\to Y\epsilon C\,}$ z morfizmom ${\displaystyle F(f):F(X)\to f(Y)\epsilon D\,}$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ za vsak objekt ${\displaystyle F(X)\epsilon D\,}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)\,}$ za vse morfizme ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ in ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$ .

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na ${\displaystyle n\,}$ .

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

• Konstantni funktor: Funktor, ki preslika (${\displaystyle C\to D\,}$ ) vsak objekt iz ${\displaystyle C\,}$ v fiksni objekt ${\displaystyle X\,}$ v ${\displaystyle D\,}$ .
• Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
• Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
• Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz ${\displaystyle D\,}$ v funktorsko kategorijo ${\displaystyle D^{C}\,}$ , ki vsakemu objektu v ${\displaystyle D\,}$ priredi konstantni funktor temu objektu.

• Funktor Arhivirano 2016-02-21 na Wayback Machine. na MaFiRa (slovensko)
• Funktor Arhivirano 2011-04-25 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Funktor (angleško)