Limită a unui șir
Conținutul paginii Șir convergent ar trebui să fie inclus aici. |
Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită.Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.
n | n sin(1/n) |
---|---|
1 | 0.841471 |
2 | 0.958851 |
... | |
10 | 0.998334 |
... | |
100 | 0.999983 |
Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.
Istoric
modificareConceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.
Definiție
modificare- Pentru un șir de numere reale
- Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
- dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xn−L| < ε.
- Pentru un șir de puncte
într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):
- Un element
este numit limita șirului și se notează:
- dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.
Exemple
modificare- Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
- Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
- Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.
De asemenea:
Cazul șirurilor de funcții
modificareDefiniție.Fie un șir de funcții,
Se spune că șirul
este punctual convergent pe
către f pentru
și se scrie
dacă
(în
) pentru
Definiție.Un șir de funcții
se numește uniform convergent pe
către o funcție
și se scrie
dacă este îndeplinită următoarea condiție:
natural astfel încât
să existe relația
pentru
Teoremă.
- (a) Un șir
de funcții mărginite,
(adică:
) este uniform convergent către o funcție
dacă și numai dacă
- (b) Orice șir de funcții
uniform convergent pe
este punctual convergent pe
reciproca este falsă.
Exemplu
modificareFie și
Evident
adică unde:
Dar deci
Așadar, șirul
este
dar nu este
pe
Vezi și
modificareLegături externe
modificare- en Exemple de șiruri Arhivat în , la Wayback Machine.
- en A history of the calculus Arhivat în , la Wayback Machine.