Limita posloupnosti
Limita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .
Definice
editovatČíslo je limitou posloupnosti
, jestliže pro libovolné
existuje
takové, že pro každé
platí
.
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Důkaz jednoznačnosti limity
editovatDůkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost má dvě limity
a
, přičemž
, pak platí:
a
.
Označme větší z čísel
a
, pak pro všechna
a pro libovolné
platí:
a
.
Tedy vzdálenost od bodu
i od bodu
je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
Konvergentní posloupnosti
editovatPokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo
takové, že pro všechna
platí
, pak říkáme, že posloupnost
má vlastní limitu
, popř. že posloupnost konverguje k číslu
:
.
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému takové přirozené číslo
, že pro libovolnou dvojici indexů
platí
, pak je posloupnost
konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.
Bodová konvergence funkční posloupnosti
editovatPokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo
takové, že pro všechna
platí
, pak říkáme, že funkční posloupnost
bodově konverguje v bodě
k limitní funkci
:
.
Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost označíme jako bodově divergentní.
Stejnoměrná konvergence funkční posloupnosti
editovatPokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo
takové, že pro všechna
a pro všechny body
platí
, pak říkáme, že funkční posloupnost
stejnoměrně konverguje na intervalu
k limitní funkci
:
.
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost na intervalu
stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému
najít takové přirozené číslo
, že pro každou dvojici
a každé
platí
.
Pokud jsou funkce na intervalu
spojité a posloupnost
je na
stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu
spojitá také limitní funkce
.
Vlastnosti konvergentní posloupnosti
editovat- Mějme dvě konvergentní posloupnosti
, pro které platí
. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní:
,
- kde z posloupnosti
jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť
.
- Máme-li dvě konvergentní posloupnosti
, pro které platí
, pak jestliže pro každé
je
, pak je také
.
- Máme-li dvě konvergentní posloupnosti
, pro které platí
, pak jestliže existuje posloupnost
taková, že pro každé
je
, pak platí také
.
- Je-li
podposloupnost posloupnosti
a platí
, pak platí také
.
- Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li
omezená posloupnost v
, pak z ní lze vybrat posloupnost
, která je konvergentní. Tato věta je založena na axiomu výběru, proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí. Podle této věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší, tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti, což zapisujeme:
a
,
- kde posloupnost
je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud
, konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.
Divergentní a oscilující posloupnosti
editovatŘíkáme, že posloupnost je
- konvergentní, pokud má vlastní limitu,
- divergentní, pokud má nevlastní limitu,
- oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.
Související články
editovatExterní odkazy
editovatObrázky, zvuky či videa k tématu limita posloupnosti na Wikimedia Commons