Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – pojęcie z rachunku prawdopodobieństwa oznaczające średnią, ważoną prawdopodobieństwem, wartość zmiennej losowej. Intuicyjnie, jest to spodziewany średni wynik doświadczenia losowego przy jego wielokrotnym powtarzaniu[1].
Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym.
Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
edytujJeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej
o wartościach w
to wartością oczekiwaną
zmiennej losowej
nazywa się liczbę
Zmienna dyskretna
edytujW przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości
z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio
to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną
[4]:
[5].
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje
w miejsce
(istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Własności
edytujJeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa
to jej wartość oczekiwana wynosi
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
Jeśli istnieją oraz
to:
gdzie
jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
(wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli
są niezależne, to
- jeżeli
prawie wszędzie, to
W mechanice kwantowej
edytujPojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową
wynosi
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten ma postać
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja
wynosi
Przypisy
edytuj- ↑ Thomas P. Ryan , Modern engineering statistics, Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2007, ISBN 978-0-470-08187-7 [dostęp 2023-12-07] .
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82 .
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81 .
- ↑ Wartość oczekiwana, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22] .
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85 .
Bibliografia
edytuj- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.