Stowarzyszone funkcje Legendre’a

Ogólne rozwiązanie ${\displaystyle f(x)}$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji ${\displaystyle P_{l}^{m}(x)}$ o różnych wartościach parametrów ${\displaystyle l,m.}$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami ${\displaystyle m,}$ są następujące:

(0)

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

(1)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{1}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\&P_{1}^{0}(x)\ &=x\\&P_{1}^{1}(x)\ &=-(1-x^{2})^{1/2}\end{alignedat}}}$

(2)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{2}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\&P_{2}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\&P_{2}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\&P_{2}^{1}(x)\ &=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{2}^{2}(x)\ &=3(1-x^{2})\end{alignedat}}}$

(3)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{3}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\&P_{3}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\&P_{3}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\&P_{3}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\&P_{3}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{3}^{2}(x)\ &=15x(1-x^{2})\\&P_{3}^{3}(x)\ &=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{alignedat}}}$

(4)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{4}^{-4}(x)\ &={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\&P_{4}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\&P_{4}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\&P_{4}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\&P_{4}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\&P_{4}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{4}^{2}(x)\ &={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\&P_{4}^{3}(x)\ &=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\&P_{4}^{4}(x)\ &=105(1-x^{2})^{2}\end{alignedat}}}$

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość ${\displaystyle x=\cos \theta }$ oraz używając relacji ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$ otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów ${\displaystyle \lambda ,m}$ postaci

${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}+\operatorname {ctg} \theta {\frac {d}{d\theta }}+\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,f(\theta )=0.}$

Rozwiązaniami tego równania są funkcje ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ zmiennej ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ takie że

${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{l}(\cos \theta ),}$

gdzie ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$ wielomianami Legendre’a z argumentem ${\displaystyle x=\cos \theta ,}$ przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) ${\displaystyle \lambda =l(l+1)}$ oraz

(2) ${\displaystyle l,m}$ są liczbami całkowitymi, takimi że ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant l.}$

(1) Dla ustalonego ${\displaystyle m}$ funkcje ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ z parametrem ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ są ortogonalne z wagą ${\displaystyle \sin \theta }$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{l}^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}\ \delta _{k,l},}$

(2) Także, dla danego ${\displaystyle l}$ mamy

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )\,P_{l}^{n}(\cos \theta )\operatorname {cosec} (\theta )\,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(l+m)!}{m(l-m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0.\end{cases}}}$

Ogólne rozwiązanie ${\displaystyle f(\theta )}$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ o różnych wartościach parametrów ${\displaystyle l,m.}$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$

Osobny artykuł: Harmoniki sferyczne.

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych ${\displaystyle r,\phi ,\theta }$ i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od ${\displaystyle r,}$ ma zwykle postać ${\displaystyle \Delta \psi (\theta ,\phi )+\lambda \,\psi (\theta ,\phi )=0,}$ przy czym ${\displaystyle \Delta }$ oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej ${\displaystyle r.}$ Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta ${\displaystyle \theta }$ ) i funkcji zależnych od kąta ${\displaystyle \phi .}$

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania ${\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0}$ określonego na powierzchni sfery dla zmiennych ${\displaystyle \phi ,\theta .}$ Zapisując operator Laplace’a ${\displaystyle \Delta }$ we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej ${\displaystyle r,}$ równanie to przyjmie postać

${\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\psi +\lambda \psi =0,}$

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując ${\displaystyle \psi (\theta ,\phi )=X(\phi )\cdot Y(\theta ).}$ Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{d\phi ^{2}}}+m^{2}X=0}$

– jego rozwiązania są postaci ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ lub ${\displaystyle \cos(m\phi ),}$ przy czym ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,}$ aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co ${\displaystyle 2\pi ,}$ tj. ${\displaystyle X(\phi +2\pi m)=X(\phi ).}$

(2) równanie zależne od ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right]Y-\left[\lambda +{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,Y=0}$

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ mnożone przez dowolną stałą, przy czym ${\displaystyle l\geqslant m}$ oraz ${\displaystyle \lambda =l(l+1),}$ aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie ${\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0}$ posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb ${\displaystyle \lambda }$ takich że ${\displaystyle \lambda =l(l+1),}$ przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\quad 0\leqslant m\leqslant l}$

i

${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\quad 0<m\leqslant l.}$

Dla każdej liczby ${\displaystyle l}$ mamy ${\displaystyle 2\ell +1}$ funkcji o różnych wartościach ${\displaystyle m}$ oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb ${\displaystyle \ell }$ oraz ${\displaystyle m,}$ jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}}}\ P_{l}^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -l\leqslant m\leqslant l.}$

Funkcje ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$ nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach ${\displaystyle l,}$ a przeciwnych wartościach ${\displaystyle m,}$ spełnia zależność

${\displaystyle Y_{l}^{m\,*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{l}^{-m\,*}(\theta ,\phi ),}$

gdzie ${\displaystyle *}$ oznacza sprzężenie zespolone.