Równanie różniczkowe cząstkowe

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech ${\displaystyle k\geqslant 1}$ będzie liczbą całkowitą, a ${\displaystyle U}$ otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Równanie postaci:

${\displaystyle F\left(D^{k}u(x),D^{k-1}u(x),\dots ,Du(x),u(x),x\right)=0,}$ gdzie ${\displaystyle x\in U}$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym ${\displaystyle k}$ -tego rzędu.

Funkcja ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\times \ldots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\to \mathbb {R} }$ jest dana, natomiast ${\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} }$ jest niewiadomą

${\displaystyle D^{k}u(x):=\left\{D^{\alpha }u(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}u(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\colon |\alpha |=k\right\},}$

gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest ${\displaystyle n}$ -wymiarowym wielowskaźnikiem.

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d’Alemberta. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750–1830), tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.

A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.

P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych.

W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału, rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu.

Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat. Z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym – M. Krzyżańskiego. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.

Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

Wszędzie dalej przyjmujemy, że ${\displaystyle t\geqslant 0}$ oraz ${\displaystyle x\in U,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Ponadto ${\displaystyle Du:=D_{x}u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$ oznacza gradient funkcji ${\displaystyle u}$ względem zmiennych przestrzennych ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ Zmienną ${\displaystyle t}$ interpretujemy jako czas.

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

${\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dx_{1}}}={\frac {X_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}{X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ dla ${\displaystyle 2\leqslant k\leqslant n}$

(1)

nazywamy funkcje

${\displaystyle c_{k}=\psi _{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1,}$

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w pewnym obszarze ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle X_{1}\neq 0}$ wtedy każde rozwiązanie ${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})}$ równania

${\displaystyle X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+\ldots +X_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=0}$

można zapisać w postaci

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (\psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}),}$ gdzie ${\displaystyle \psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}}$ są całkami pierwszymi układu (1) a ${\displaystyle \Psi }$ jest dowolną funkcją klasy ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ -zmiennych.

1. Równanie Laplace’a: ${\displaystyle \Delta u:=\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}=0}$
2. Liniowe równanie transportu: ${\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0}$
3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): ${\displaystyle u_{t}-\Delta u=0}$
4. Równanie Schrödingera: ${\displaystyle iu_{t}+\Delta u=0}$
5. Równanie falowe: ${\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0}$

1. Nieliniowe równanie Poissona: ${\displaystyle -\Delta u=f(u)}$
2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: ${\displaystyle u_{t}+H(Du,x)=0}$
3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: ${\displaystyle u_{t}-\Delta u=f(u)}$

• równanie różniczkowe zwyczajne

• Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3. (ang.). Brak numerów stron w książce
• David Gilbarg, Neil Sidney Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1977. ISBN 3-540-08007-4. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Julian Janus, Józef Myjak: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. 2008. Brak numerów stron w książce
• Tomáš Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Basel: Birkhäuser, 2013. DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1. ISBN 978-3-0348-0512-4. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Paweł Strzelecki: Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2006. ISBN 978-83-235-0227-2. Brak numerów stron w książce

• Grant Sanderson, But what is a partial differential equation?, kanał 3blue1brown na YouTube, 21 kwietnia 2019 [dostęp 2021-03-15].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Partial Differential Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].
• Differential equation, partial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].