W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna χ : N → C {\displaystyle \chi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} } nazywana jest charakterem Dirichleta modulo q {\displaystyle q} [1] , jeśli dla ustalonej liczby naturalnej q {\displaystyle q} i wszystkich liczb całkowitych a , b {\displaystyle a,b} spełnia warunki:
χ ( a b ) = χ ( a ) χ ( b ) , {\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),} tzn. jest całkowicie multiplikatywna . χ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle \chi (a)\neq 0} jeśli ( a , q ) = 1 {\displaystyle (a,q)=1} oraz χ ( a ) = 0 {\displaystyle \chi (a)=0} jeśli ( a , q ) > 1 , {\displaystyle (a,q)>1,} gdzie ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} oznacza największy wspólny dzielnik x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.} χ ( a + q ) = χ ( a ) {\displaystyle \chi (a+q)=\chi (a)} – ma okres q . {\displaystyle q.} Przykład charakteru Dirichleta χ mod 7 {\displaystyle \chi \;{\text{mod}}\;7} Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny , zadany przez
χ ( a ) = { 1 , ( a , q ) = 1 0 , ( a , q ) > 1. {\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}1,\quad (a,q)=1\\0,\quad (a,q)>1.\end{cases}}}
Najczęściej jest on zapisywany jako χ 0 {\displaystyle \chi _{0}} .
W ogólności, dla każdej liczby całkowitej q > 1 {\displaystyle q>1} istnieje dokładnie φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} (tocjent ) różnych charakterów Dirichleta mod q {\displaystyle q} . Są to χ 1 , χ 2 , … , χ φ ( q ) {\displaystyle \chi _{1},\;\chi _{2},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)}} (lub χ 0 , χ 1 , … , χ φ ( q ) − 1 {\displaystyle \chi _{0},\;\chi _{1},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)-1}} ) dane przez χ r ( n ) = exp ( a 2 π i φ ( q ) ) {\textstyle \chi _{r}(n)=\exp \left({a{\frac {2\pi i}{\varphi (q)}}}\right)} dla pewnej liczby całkowitej a {\displaystyle a} zależnej od n {\displaystyle n} , r {\displaystyle r} i q {\displaystyle q} dla ( n , q ) = 1 {\displaystyle (n,q)=1} oraz χ r ( n ) = 0 {\displaystyle \chi _{r}(n)=0} dla ( n , q ) > 1 {\displaystyle (n,q)>1} .
Przystawanie edytuj Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli n ≡ m ( mod q ) {\textstyle n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)} , to
χ ( n ) = χ ( m ) {\displaystyle \chi (n)=\chi (m)} .
Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.
Jeśli ( n , q ) = 1 {\displaystyle (n,q)=1} , to z twierdzenia Eulera wiadomo, że n φ ( q ) ≡ 1 ( mod q ) {\textstyle n^{\varphi (q)}\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)} , więc
χ ( n ) φ ( q ) = χ ( n φ ( q ) ) = 1 {\displaystyle \chi (n)^{\varphi (q)}=\chi \left(n^{\varphi (q)}\right)=1} .
Ortogonalność edytuj Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności ,
∑ n = 0 q − 1 χ ( n ) = { φ ( q ) , χ = χ 0 0 , χ ≠ χ 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{q-1}\chi (n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &\chi =\chi _{0}\\0,&\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}
oraz
∑ r = 1 φ ( q ) χ r ( n ) = { φ ( q ) , n ≡ 1 ( mod q ) 0 , n ≢ 1 ( mod q ) {\displaystyle \sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}} .
Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest[1]
∑ r = 1 φ ( q ) χ r ( n ) χ r ( m ) ¯ = { φ ( q ) , n ≡ m ( mod q ) 0 , n ≢ m ( mod q ) {\displaystyle \sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n){\overline {\chi _{r}(m)}}={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv m\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}}
Wykorzystanie edytuj
Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych .
Funkcje L Dirichleta edytuj Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta . Definiuje się je jako szereg
L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}
dla danego charakteru χ {\displaystyle \chi } i wszystkich liczb zespolonych s {\displaystyle s} na półpłaszczyźnie ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej [2] . Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera
L ( s , χ ) = ∏ p ( 1 − χ ( p ) p s ) − 1 {\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}} .
Twierdzenie Siegela-Walfisza edytuj Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję
ψ ( x , χ ) = ∑ n ⩽ x χ ( n ) Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x,\chi )=\sum _{n\leqslant x}\chi (n)\Lambda (n)} .
Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem
ψ ( x ; q , a ) = ψ ( x , χ 0 ) φ ( q ) + 1 φ ( q ) ∑ χ ( mod q ) χ ≠ χ 0 χ ( a ) ¯ ψ ( x , χ ) {\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {\psi (x,\chi _{0})}{\varphi (q)}}+{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{\begin{array}{c}\chi \;({\text{mod}}\;q)\\\chi \neq \chi _{0}\end{array}}{\overline {\chi (a)}}\psi (x,\chi )} .
Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej N {\displaystyle N} istnieje liczba C N {\displaystyle C_{N}} taka, że dla q ⩽ ( log x ) N {\displaystyle q\leqslant (\log x)^{N}} i dowolnego niepryncypialnego charakteru χ mod q {\displaystyle \chi \;{\text{mod}}\;q} zachodzi[2]
| ψ ( x , χ ) | = O ( x e − C n log x ) {\displaystyle |\psi (x,\chi )|=O\left(xe^{-C_{n}{\sqrt {\log x}}}\right)} .
↑ a b Tom M. T.M. Apostol Tom M. T.M. , Introduction to Analytic Number Theory , „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI : 10.1007/978-1-4757-5579-4 , ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-16] .↑ a b Henryk H. Iwaniec Henryk H. , Emmanuel E. Kowalski Emmanuel E. , Analytic Number Theory , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 8 czerwca 2004 (Colloquium Publications), DOI : 10.1090/coll/053 , ISBN 978-0-8218-3633-0 [dostęp 2023-12-10] .brak strony (książka)