Ellipsoid

En Ellipsoid am dräidimensionale Raum kann als gestreckt oder gestaucht Bild vun enger Kugeluewerfläch (Sphär) erkläert ginn. Beim Gebrauch vu kartesesche Koordinaten an Ausriichtung vun de Koordinatenachsen x, y an z no de Symmetrieachse vum Ellipsoid heescht seng Equatioun

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0}$

mat positive reellen Zuelen ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ an ${\displaystyle c}$ , de Längte vun den Hallefachsen.

Am n-dimensionale Raum ass en Ellipsoid

${\displaystyle E=\left\{x=(x_{1}\ldots x_{n})^{T}\in R^{n}:x^{T}Qx=\sum _{1\leq i,j\leq n\ }q_{ij}x_{i}x_{j}=1\right\}}$

d'Léisungsmenge vun enger quadratescher Equatioun mat positiv definiter reeller (zu enger quadratescher Form gehéierenden) Matrix ${\displaystyle Q=(q_{ij})}$ .

Duerch Haaptachsentransformatioun kann ee ${\displaystyle Q}$ op eng Diagonalmatrix mat positiven Eegewäerter transforméieren. D'Eegevecteure vun där Matrix ginn d'Richtung vun den Haaptachsen un, d'Kehrwäerter vun de Wurzelen aus den Eegewäerter sinn d'Längte vun den Hallefachsen déi derzou gehéieren.

An der Linearer Optiméierung ginn Ellipsoiden an der Ellipsoid-Method gebraucht.

Déi follgend Erklärunge begrenze sech nees op Ellipsoiden am dräidimensionale Raum.Wann allen dräi Hallefachse verschidde sinn, da schwätzt ee vun triaxialen (oder dräiachsegen) Ellipsoiden. Bei der Rotatioun vun enger Ellips ëm eng vun hiren Achsen entstinn Rotatiounskierper, an dësem Fall Rotatiounsellipsoide. Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn rotéierend Himmelskierper, wéi eis Äerd (vergl. Äerdellipsoid) resp. Planéiten, Sonnen oder Galaxien. Elliptesch Galaxien kënnen och triaxial sinn.

Eis Äerd ass nëmmen ongeféier eng Kugel. A Wierklechkeet ass si duerch d'Dréiung ëm sech selwer un de Polen ofgeflaacht an och soss ganz onreegelméisseg geformt. Fir dës Onreegelméissegkeet méi genee ze beschreiwen, gëtt amplaz vun der Kugel dacks e Rotatiounsellipsoid gebraucht. Dësen déngt an der Kartographie an an der Geodesie als Bezuchssystem fir d'Konstruktioun vu Vermoossungsnetzer an der direkten Angab geographescher Koordinaten. Duerch den Ellipsoid gëtt d'Äerdfigur als "Fläch konstanter Héicht" ofgestëmmt (kuckt Geoid an Mierespigel).

De Volume ${\displaystyle V}$ léisst sech mat

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}$

aus dem Produkt vun den Hallefachse berechnen.

Sief ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ a sief ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}}$ déi numeresch Exzentrizitéit vun der Ellips, déi sech als Schnëtt mat der ${\displaystyle xz}$ -Fläch ${\displaystyle y=0}$ ergëtt. Dann ass firen ofgeplattenen Ellipsoid mat ${\displaystyle a=b>c}$ (Rotatiounsachs = z-Achs)

${\displaystyle A=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\,{\frac {\operatorname {artanh} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)}$

a fir e verlängerten Ellipsoid mat ${\displaystyle a>b=c}$ (Rotatiounsachs = x-Achs)

${\displaystyle A=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {a}{c}}\,{\frac {\arcsin \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right).}$

D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid léisst sech net mat Hëllef vu Funktiounen ausdrécken, déi een als elementar ugesäit, wéi z. B. artanh oder arcsin. D'Flächeberechnung ass dem Adrien-Marie Legendre mat Hëllef vun der elliptescher Integrale gelongen. Sief ${\displaystyle a>b>c}$ . Schreift een

${\displaystyle k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}}$ an ${\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}},}$

sou heescht d'Integrale

${\displaystyle E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x}$ an ${\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}$

D'Uewerfläch huet mat E an F no Legendre^[1] de Wäert

${\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).}$

Ginn d'Ausdréck fir k an ${\displaystyle \varphi }$ souwéi d'Substitutiounen

${\displaystyle u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}$   an  ${\displaystyle v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}}$

an d'Equatioun fir A agesat, sou ergëtt sech d'Schreifweis

${\displaystyle A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}$

Vum Knud Thomsen staamt déi (integralfräi) „Näherungsformel“

${\displaystyle A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{1,6}+(ac)^{1,6}+(bc)^{1,6}}{3}}\right)^{0,625}\,\!.}$

Déi maximal Ofwäichung vum exakten Resultat ass manner wéi 1,2 %.

Am Grenzfall vun engem vollstänneg plattgedréckten Ellipsoid ${\displaystyle \left(c\to 0\right)}$ striewen all dräi notéiert Formele fir A géint ${\displaystyle 2\pi ab,}$ den duebelte Wäert vun enger Ellipsefläch mat den Hallefachsen ${\displaystyle a}$ an ${\displaystyle b}$ .

Formele fir Rotatiounsellipsoiden änneren

Mat den Definitioune vun der elliptescher Integraler E an F loosse sech déi béid rotatiounssymmetresch Spezialfäll liicht aus der allgemenger triaxialer Formel ofleeden, well E an F ginn elementar Funktiounen.

Ofgeplatten Ellipsoid änneren

${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle a}$ , also gëtt k = 1, doraus follegt ${\displaystyle E(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }\ \mathrm {d} x=\sin \varphi ={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}$ an ${\displaystyle F(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x=\operatorname {artanh} (\sin \varphi )=\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).}$

Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat ${\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi a}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right)+(a^{2}-c^{2}){\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).}$

Verlängerten Ellipsoid änneren

${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle c}$ , also gëtt k = 0, doraus follegt ${\displaystyle E(0,\varphi )=F(0,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin(\sin \varphi )=\arcsin \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).}$

Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat ${\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi c}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\arcsin \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right)+(a^{2}-c^{2})\arcsin \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right)\right).}$

Alternativ loosse sech d'Uewerflächen och als Mantelfläch vu rotéierenden Ellipsen (Rotatiounsellipsoid) berechnen.

• Ellips
• Hyperboloid
• Paraboloid
• Homöoid
• Fokaloid
• Referenzellipsoid an der Kartographie

Wiktionnaire: Ellipsoid Definitioun, Synonymmer an Iwwersetzungen

• (en) Online-Berechnung vu Volumen an Uewerfläch vun engem Ellipsoid
• (en) Formel fir d'Uewerfläch vun engem Ellipsoid

1. ↑ Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.