수학 에서 미분 연산자 (微分演算子, 영어 : differential operator )는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환 이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 두 매끄러운 벡터 다발 E , F ↠ M {\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M} 그렇다면, E {\displaystyle E} 와 F {\displaystyle F} 의 매끄러운 단면 들의 실수 벡터 공간
Γ ∞ ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)} Γ ∞ ( F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)} 을 생각하자.
E {\displaystyle E} 와 F {\displaystyle F} 사이의 미분 연산자 는 특별한 꼴의 실수 선형 변환
D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
구체적 정의 편집 임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.
s ∇ X 1 ∇ X 2 ⋯ ∇ X k : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle s\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 여기서
k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 는 자연수 (음이 아닌 정수)이다. ∇ {\displaystyle \nabla } 는 E {\displaystyle E} 의 임의의 코쥘 접속 이다. s ∈ Γ ∞ ( E ∗ ⊗ F ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)} 는 E ∗ ⊗ F {\displaystyle E^{*}\otimes F} 의 임의의 매끄러운 단면 이다. X 1 , … , X k ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 는 M {\displaystyle M} 위의 매끄러운 벡터장 이다.그렇다면, 미분 연산자 는 위와 같은 꼴의 연산자 ( D i ) i ∈ I {\displaystyle (D_{i})_{i\in I}} 들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.
어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ( U j ) j ∈ J {\displaystyle (U_{j})_{j\in J}} 에 대하여, 각 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여 { i ∈ I : D i ↾ U j ≠ ∅ } {\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}} 은 유한 집합 이다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간 이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)
위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 k {\displaystyle k} 를 미분 연산자의 차수 (영어 : degree )라고 한다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)
제트 다발을 통한 정의 편집 실수 선형 변환
D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, D {\displaystyle D} 를 k {\displaystyle k} 차 미분 연산자 라고 한다.
D = T ∘ j k {\displaystyle D=T\circ \mathrm {j} ^{k}} 여기서
j k : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( J k E ) {\displaystyle \mathrm {j} ^{k}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {J} ^{k}E)} 는 E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 제트 연장이다. J k E {\displaystyle \mathrm {J} ^{k}E} 는 E {\displaystyle E} 의 k {\displaystyle k} 차 제트 다발 이다. T : J k E → F {\displaystyle T\colon \mathrm {J} ^{k}E\to F} 는 벡터 다발 사상이다.미분 연산자 는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, 미분 연산자 는 위와 같은 꼴의 연산자 ( D i ) i ∈ I {\displaystyle (D_{i})_{i\in I}} 들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.
어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ( U j ) j ∈ J {\displaystyle (U_{j})_{j\in J}} 에 대하여, 각 j ∈ J {\displaystyle j\in J} 에 대하여 { i ∈ I : D i ↾ U j ≠ ∅ } {\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}} 은 유한 집합 이다. (만약 M {\displaystyle M} 이 콤팩트 공간 이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)
페트레 정리를 통한 정의 편집 실수 벡터 공간 값의 층 사상
D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
임의의 매끄러운 단면 s ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)} 에 대하여, supp ( D s ) ⊆ supp s {\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} s} . 여기서 supp {\displaystyle \operatorname {supp} } 은 층의 지지 집합 이다. 그렇다면, D {\displaystyle D} 를 미분 연산자 라고 한다.
이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리 (Peetre定理, 영어 : Peetre’s theorem )라고 한다.
콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 두 벡터 다발 E , F {\displaystyle E,F} 가 주어졌다고 하자. E → F {\displaystyle E\to F} 미분 연산자의 공간을 D ( E , F ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(E,F)} 로 표기하자.
그렇다면, 모든 미분 연산자 Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과
Γ ∞ ( E ∗ ⊗ F ) = D 0 ( E , F ) ⊆ D 1 ( E , F ) ⊆ ⋯ ⊆ D ∞ ( E , F ) = D ( E , F ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)={\mathcal {D}}_{0}(E,F)\subseteq {\mathcal {D}}_{1}(E,F)\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {D}}_{\infty }(E,F)={\mathcal {D}}(E,F)} 가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.
미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.
D n ( E ′ , E ″ ) ∘ D m ( E , E ′ ) ⊆ D m + n ( E , E ″ ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}(E',E'')\circ {\mathcal {D}}_{m}(E,E')\subseteq {\mathcal {D}}_{m+n}(E,E'')} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 C ∞ ( M , C ) → C ∞ ( M , C ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )} 미분 연산자는 유사 미분 연산자 이다.
등급 대수 편집 콤팩트 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 벡터 다발 E {\displaystyle E} 이 주어졌다고 하자. 편의상 D ( E ) = D ( E , E ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(E)={\mathcal {D}}(E,E)} 와 같이 표기하자.
이제, 다음과 같이 등급 대수 를 정의할 수 있다.
gr D ( E ) = ⨁ i = 0 ∞ D i ( E ) D i − 1 ( E ) {\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }{\frac {{\mathcal {D}}_{i}(E)}{{\mathcal {D}}_{i-1}(E)}}} (여기서 편의상 D i − 1 ( E ) = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{i-1}(E)=\{0\}} 으로 간주한다.)
이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.[1] :64, Proposition 2.1
Γ ∞ ( Sym ( T M ) ⊗ End ( E ) ) ≅ gr D ( E ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)\otimes \operatorname {End} (E)\right)\cong \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)} 여기서
Sym ( T M ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)} 은 그 올이 접공간 의 대칭 대수 인 벡터 다발 이다. End ( E ) = E ⊗ E ∗ {\displaystyle \operatorname {End} (E)=E\otimes E^{*}} 는 E {\displaystyle E} 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발 이다.이는 다음과 같다.
X 1 ⊗ X 2 ⊗ ⋯ ⊗ X k ⊗ T ↦ [ T ∇ X 1 ∇ X 2 ⋯ ∇ X k ] ∀ X 1 , … , X k ∈ Γ ∞ ( T M ) , T ∈ Γ ∞ ( E ⊗ E ∗ ) {\displaystyle X_{1}\otimes X_{2}\otimes \cdots \otimes X_{k}\otimes T\mapsto [T\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}]\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M),\;T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})} 여기서 ∇ {\displaystyle \nabla } 는 E {\displaystyle E} 위에 정의된 임의의 코쥘 접속 이다.
주표상 (主表象, 영어 : principal symbol )은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 ∂ i ↦ ξ i {\displaystyle \partial _{i}\mapsto \xi _{i}} 로 치환한 것이다.
구체적으로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E , F → X {\displaystyle E,F\to X} 사이의 미분 연산자 D : Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( F ) {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)} 를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 u ∈ Γ ∞ ( E ) {\displaystyle u\in \Gamma ^{\infty }(E)} 에 대하여, 국소 좌표계에서 D {\displaystyle D} 가
D : u ( x ) ↦ ∑ I P I ( x ) ∂ I u {\displaystyle D\colon u(x)\mapsto \sum _{I}P^{I}(x)\partial _{I}u} 의 꼴이라고 하자. 여기서 I {\displaystyle I} 는 다중지표 이고, D I : E → F {\displaystyle D^{I}\colon E\to F} 는 다발 사상 이다. 여기서 D I {\displaystyle D^{I}} 는 다중지표의 성분들의 순열 에 무관하다.
D {\displaystyle D} 의 차수
k = max { | I | : P I ≠ 0 } {\displaystyle k=\max\{|I|\colon P^{I}\neq 0\}} 가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 D {\displaystyle D} 의 주표상
σ D ∈ Γ ∞ ( Sym k ( T X ) ⊗ E ∗ ⊗ F ) {\displaystyle \sigma _{D}\in \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} X)\otimes E^{*}\otimes F\right)} 은 ( k , 0 ) {\displaystyle (k,0)} 차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.
σ D = ∑ | I | = k P I {\displaystyle \sigma _{D}=\sum _{|I|=k}P^{I}} 이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.
실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.
D = ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) d n d x n {\displaystyle D=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}} 여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.
∀ x ∈ R ∃ ϵ ∈ R + ∀ y ∈ ( x − ϵ , x + ϵ ) ∃ N ∈ N ∀ n > N : f n ( y ) = 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \exists \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\forall y\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )\exists N\in \mathbb {N} \forall n>N\colon f_{n}(y)=0} 벡터 연산자 편집 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 실수 값 매끄러운 함수 는 자명한 벡터 다발 R × R n {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}} 의 매끄러운 단면 이며, 벡터장 은 자명한 벡터 다발 R n × R n = T R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {T} \mathbb {R} ^{n}} 의 매끄러운 단면 이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기
grad : C ∞ ( R n , R ) → C ∞ ( R n , R n ) {\displaystyle \operatorname {grad} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})} 와 발산
div : C ∞ ( R n , R n ) → C ∞ ( R n , R ) {\displaystyle \operatorname {div} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )} 및 회전
curl : C ∞ ( R n , R n ) → C ∞ ( R n , R n ) {\displaystyle \operatorname {curl} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})} 은 모두 1차 미분 연산자이다.
라플라스 연산자 편집 준 리만 다양체 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자
Δ : C ∞ ( X ) → C ∞ ( X ) {\displaystyle \Delta \colon C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)} 가 존재하며, 그 주표상은
σ Δ ( ξ ) = g − 1 ( ξ , ξ ) {\displaystyle \sigma _{\Delta }(\xi )=g^{-1}(\xi ,\xi )} 이다. 만약 M {\displaystyle M} 이 리만 다양체 라면 이는 타원형 미분 연산자이다.
디랙 연산자 편집 스핀 다양체 M {\displaystyle M} 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자
D = γ i ∇ i : S M → S M {\displaystyle D=\gamma ^{i}\nabla _{i}\colon SM\to SM} 의 주표상은
σ D ( ξ ) = γ i ξ i {\displaystyle \sigma _{D}(\xi )=\gamma ^{i}\xi _{i}} 이다. 여기서 S M {\displaystyle SM} 은 M {\displaystyle M} 의 스피너 다발 이고, γ i {\displaystyle \gamma ^{i}} 는 디랙 행렬 이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.
미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(프랑스어 : Louis François Antoine Arbogast , 1759~1803)의 1800년 저서[2] 가 최초라고 여겨진다.[3] :169, §2.1
페트레 정리는 야크 페트레(에스토니아어 : Jaak Peetre , 1935~)가 증명하였다.
Hörmander, Lars (1971). 〈Linear differential operators〉 (PDF) . 《Actes du Congrès international des mathématiciens 1970 publiés sous la direction du Comité d’Organisation du Congrès. Tome 1. Documents — Médailles Fields. Conférences générales (G). Logique (A) — algèbre (B)》 (영어). 파리 : Gauthier-Villars. 121–133쪽. 2015년 11월 6일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2017년 1월 5일에 확인함 . Hörmander, L. (1983). 《The analysis of linear partial differential operators I》. Grundl. Math. Wissenschaft. 256 . Springer. ISBN 3-540-12104-8 . MR 0717035 . Wells, R.O. (1973). 《Differential analysis on complex manifolds》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0 . 외부 링크 편집