Reticolo di Bravais

Si ponga l'origine degli assi cartesiani su un qualsiasi punto del reticolo, ogni punto è individuato da un vettore. Un reticolo di Bravais è generato da operazioni di traslazione nello spazio di un insieme di vettori, detti vettori primitivi. I vettori primitivi sono linearmente indipendenti e la loro scelta non è univoca.

La definizione generale di reticolo di Bravais ${\displaystyle \mathbf {R} }$ in d dimensioni è:

${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{d}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$

dove ${\displaystyle n_{i}}$ sono numeri interi e ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ i vettori primitivi del reticolo.

Il reticolo in una dimensione è unico e definito dall'equazione:

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}}$

In due dimensioni il reticolo viene definito dall'equazione:

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}}$

con ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ e ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ , i vettori primitivi, che non sono paralleli. In due dimensioni esistono cinque reticoli di Bravais: obliquo, rettangolare, rettangolare centrato, esagonale e quadrato. In realtà vi sono quattro sistemi cristallini, in quanto il rettangolare ed il rettangolare centrato appartengono allo stesso sistema cristallino.

Il reticolo in tre dimensioni viene definito dall'equazione:

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

con ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ , ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ i vettori primitivi, che non sono complanari.

Lo stesso argomento in dettaglio: Cella primitiva.

Si definisce cella primitiva unitaria di un reticolo un volume di spazio che, traslato attraverso tutti i vettori di un reticolo di Bravais, riempie completamente il reticolo senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi vuoti. Una cella primitiva contiene un solo punto del reticolo, ed ha stessa simmetria del reticolo.

Nel caso tridimensionale, conoscendo il volume, è possibile determinare la densità del solido:

${\displaystyle n={\frac {m}{V}}}$

Dove ${\displaystyle m}$ è la massa della base e ${\displaystyle V\ }$ è il volume della cella unitaria. Da un punto di vista geometrico si dimostra che, detti ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ , ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ , ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ i vettori primitivi, il volume della cella unitaria risulta:

${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$

Nel caso tridimensionale per un reticolo ${\displaystyle sc}$ la scelta più banale è quella di un cubo di lato ${\displaystyle a}$ .

Tutto lo spazio di un reticolo può essere riempito con celle convenzionali senza sovrapposizioni quando viene traslato attraverso un sottoinsieme dei vettori del reticolo di Bravais.

Cella primitiva di Wigner-Seitz modifica

Lo stesso argomento in dettaglio: Cella di Wigner-Seitz.

La cella di Wigner-Seitz attorno ad un punto di un reticolo di Bravais è la cella primitiva che gode di tutte le proprietà di simmetria della struttura.

Lo stesso argomento in dettaglio: Reticolo reciproco.

Consideriamo un set di punti ${\displaystyle \mathbf {R} }$ che costituiscono un reticolo di Bravais ed una onda piana, definita da ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ . Tale onda, per alcuni valori di ${\displaystyle \mathbf {k} }$ , ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda ${\displaystyle \mathbf {K} }$ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} )}=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi ${\displaystyle \mathbf {r} }$ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

per tutti i punti ${\displaystyle \mathbf {R} }$ del reticolo di Bravais.

I reticoli di Bravais si classificano in base alla forma della cella convenzionale, dove ciascuna forma corrisponde ad uno dei sette sistemi cristallini, e alla presenza o meno di punti del reticolo al centro del corpo o delle facce di questa.

I sette sistemi cristallini sono:

• cubico
• tetragonale
• ortorombico
• monoclino
• triclino
• esagonale
• romboedrico (o trigonale)

e la centratura del reticolo può essere:

• primitiva (P): nessun punto oltre ai vertici della cella
• a corpo centrato (I): un punto al centro della cella
• a facce centrate (F): un punto al centro di ogni faccia
• con una faccia centrata (A, B o C): un punto al centro delle due facce in una sola direzione

Non tutte le combinazioni sistema cristallino-centratura danno però luogo a differenti tipi di reticolo, in quanto alcune di queste sono equivalenti: ad esempio, un reticolo monoclino I è equivalente a un reticolo monoclino C cambiando la scelta dei vettori di base.

In tre dimensioni vi sono 14 tipi di reticolo di Bravais,^[1] riportati di seguito. Per quanto riguarda la sigla con cui vengono identificati si usa normalmente la notazione che deriva dall'inglese.

Reticolo di Bravais	Sistema cristallino	Cella convenzionale	VC/VP (*)	Generatori	Caratteristiche	Sigla
Cubico P (semplice)	Cubico a=b=c α=β=γ=90°		1	a1 = a a2 = b a3 = c	Il lato della cella è pari al doppio del raggio atomico dell'elemento considerato; si può pensare che gli atomi siano rappresentati da sferette rigide e che la cella elementare sia formata da sferette a contatto lungo gli spigoli del cubo. Il rapporto tra lo spazio occupato dalle sferette e il volume della cella dà il fattore di impaccamento di 0,52.	sc
Cubico I (a corpo centrato)			2	a1 = a a2 = b a3 = (a+b+c)/2	la struttura cubica a corpo centrato contiene un atomo all'interno della struttura cubica. Le sferette sono a contatto solo lungo le diagonali della cella cubica. Il fattore di impaccamento è 0,68.	bcc
Cubico F (a facce centrate)			4	a1 = (a+b)/2 a2 = (a+c)/2 a3 = (b+c)/2	La struttura cubica a facce centrate è costituita da celle elementari che contengono su ogni faccia della struttura cubica un atomo. Il parametro reticolare si allarga ancora rispetto alle precedenti. Il fattore di impaccamento è 0,74.	fcc
Tetragonale P (semplice)	Tetragonale a=b α=β=γ=90°		1	a1 = a a2 = b a3 = c		st
Tetragonale I (a corpo centrato)			2	a1 = a a2 = b a3 = (a+b+c)/2		bct
Ortorombico P (semplice)	Ortorombico α=β=γ=90°		1	a1 = a a2 = b a3 = c		so
Ortorombico I (a corpo centrato)			2	a1 = a a2 = b a3 = (a+b+c)/2		orc
Ortorombico F (a facce centrate)			4	a1 = (a+b)/2 a2 = (a+c)/2 a3 = (b+c)/2		orc
Ortorombico C (a base centrata)			2	a1 = a a2 = (a+b)/2 a3 = c		orc
Monoclino P (semplice)	Monoclino α=γ=90°		1	a1 = a a2 = b a3 = c		mcl
Monoclino C (a base centrata)			2	a1 = a a2 = (a+b)/2 a3 = c		mcl
Triclino	Triclino a≠b≠c		1	a1 = a a2 = b a3 = c
Esagonale	Esagonale a=b α=β=90°, γ=120°		3	a1 = a a2 = b a3 = c	Le facce superiore e inferiore della cella esagonale hanno un atomo al centro. Su un piano intermedio tra queste due facce sono situati tre atomi disposti a triangolo. Le tre sferette del piano intermedio sono a contatto con quelle delle facce superiore e inferiore. Il fattore di impaccamento è 0,74.	hex
Romboedrico (o trigonale)	Romboedrico (o trigonale) (**) a=b=c		1	a1 = a a2 = b a3 = c		hex

(*) rapporto tra il volume della cella convenzionale e quello della cella primitiva.
(**) talvolta come cella convenzionale romboedrica si usa, anziché quella riportata in figura, la cella tipo esagonale, centrata a (2/3,1/3,1/3) e (1/3,2/3,2/3).

Si chiamano primi vicini i punti del reticolo più vicini ad un dato punto del reticolo stesso. A causa della natura periodica del reticolo di Bravais ogni punto ha lo stesso numero di primi vicini.Si chiama numero di coordinazione il numero di primi vicini, tale grandezza è una proprietà fondamentale del reticolo. In tabella sono dati i numeri di coordinazione dei tre reticoli cubici assieme ad altre proprietà di tale reticoli.

Reticolo	N. coordinazione	Distanza primi vicini	elementi per cella conv.
sc	6	${\displaystyle a}$	1
bcc	8	${\displaystyle a{\sqrt {3}}/2}$	2
fcc	12	${\displaystyle a/{\sqrt {2}}}$	4

Nella tabella sono riportati i tipi di struttura cristallina per gli elementi metallici più importanti.La distanza interatomica si riferisce alla distanza fra due atomi dello stesso elemento misurata con l'aiuto della diffrazione a raggi x.

• (EN) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics, Thomson Press, 2003, ISBN 978-81-31-50052-1.
• (EN) Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, New York, Wiley, 2004, ISBN 978-81-26-57843-6.
• (EN) J. S. Blakemore, Solid State Physics, Cambridge University Press, 1985, ISBN 978-05-21-31391-9.
• (EN) A. Goel, Crystallography, Discovery Publishing House, 2006, ISBN 81-8356-170-5.

• Costante di reticolo
• Cristallo
• Cristallografia
• Sistema cristallino
• Difetti dei reticoli cristallini
• Energia reticolare
• Fattore di impacchettamento atomico
• Reticolo (gruppo)

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul reticolo di Bravais

• (EN) Bravais lattice / crystal lattice, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Reticolo di Bravais, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Chimica

Portale Fisica

Portale Materiali

Portale Mineralogia