Indipendenza lineare
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.
L'indipendenza di vettori in può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.
Definizione
modificaSia uno spazio vettoriale su un campo
. Dati
elementi di
, si dice che essi sono linearmente indipendenti su
se in tale campo la relazione:
è verificata solo se gli elementi sono tutti uguali a zero.[1] Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che
elementi di
sono linearmente dipendenti.
La definizione si estende anche a un insieme infinito di vettori di : questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.
Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.
Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineari
modificaSi consideri l'insieme costituito dai vettori
. Si dice dipendenza lineare per
un vettore
di
diverso da
tale che:
Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare per un insieme
di
vettori, ogni vettore
proporzionale a essa, con
appartenente a
, è una dipendenza lineare per lo stesso
. Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.
In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori è uno sottospazio dello spazio proiettivo
.
Esempi
modificaNel piano
modificaI vettori e
in
sono linearmente indipendenti. Infatti, siano
e
due numeri reali tali che:
allora:
cioè:
risolvendo per e
, si trova
e
.
Base canonica
modificaSia e si considerino i seguenti elementi in
:
allora sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che
siano elementi di
tali che:
Poiché:
allora per ogni
in
.
Funzioni
modificaSia lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da
in
. Indicando con
la variabile reale, le funzioni
ed
in
sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che
e
siano due numeri reali tali che:
per ogni valore di . Si deve dimostrare che
e
. A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:
Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:
e, considerando il valore particolare , si ha
.
Dalla prima relazione allora:
e di nuovo per si trova
.
Note
modifica- ^ Hoffman, Kunze, pag. 40.
Bibliografia
modifica- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
- (EN) Stephen Friedberg, Arnold Insel e Lawrence Spence, Linear Algebra, 4ª ed., Pearson, 2003, pp. 48-49, ISBN 0-13-008451-4.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Indipendenza lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Indipendenza lineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- (EN) Tutorial and interactive program on Linear Independence.
- (EN) Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.