Gudermannin funktio

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan $y$ -akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798–1852) mukaan ^[1].

Gudermannin funktio, $gd$ , määritellään

\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}.

^[2]

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

\operatorname {arcgd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)

Ominaisuuksia muokkaa

Gudermannin funktio on pariton, sillä

\operatorname {gd} (-x)=-\operatorname {gd} (x)\,

Sillä on myös kaksi asymptoottia

\lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {gd} (x)={\frac {\pi }{2}}

\lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {gd} (x)=-{\frac {\pi }{2}}

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

\sinh(x)=\tan(\operatorname {gd} (x))\,

\cosh(x)=\sec(\operatorname {gd} (x))\,

\tanh(x)=\sin(\operatorname {gd} (x))\,

\operatorname {sech} (x)=\cos(\operatorname {gd} (x))\,

\operatorname {csch} (x)=\cot(\operatorname {gd} (x))\,

\coth(x)=\csc(\operatorname {gd} (x))\,

ja lisäksi

\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\operatorname {gd} (x)}{2}}\right)

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

e^{x}={\frac {1+\sin(\operatorname {gd} (x))}{\cos(\operatorname {gd} (x))}}

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

{\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} (x)=\operatorname {sech} x

{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcgd} (x)=\sec x

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

\operatorname {gd} (ix)=i\operatorname {arcgd} (x)\,

↑ Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 780. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 1271–1272. , 2003.