Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Viene definita come

${\displaystyle {\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi \over 2}.}$

Dalla definizione discendono le seguenti identità:

${\displaystyle \sinh(x)\,=\,\tan({\mbox{gd}}(x))}$

${\displaystyle \cosh(x)\,=\,\sec({\mbox{gd}}(x))}$

${\displaystyle {\mbox{csch}}(x)\,=\,\cot({\mbox{gd}}(x))}$

${\displaystyle \tanh(x)\,=\,\sin({\mbox{gd}}(x))}$

${\displaystyle {\mbox{sech}}(x)\,=\,\cos({\mbox{gd}}(x))}$

${\displaystyle \coth(x)\,=\,\csc({\mbox{gd}}(x))}$

La sua funzione inversa è

${\displaystyle {\rm {gd}}^{-1}(x)\,=\,\ln(\tan x+\sec x),}$

Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.

Si dimostrano inoltre le seguenti identità:

${\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{gd}}^{-1}(x)=\sec(x)}$