Gaussin algoritmi

Gaussin eliminointimenetelmä on nimetty matemaatikko Carl Friedrich Gaussin mukaan, mutta hän ei ole kehittänyt sitä. Ensimmäiset maininnat menetelmästä ovat jo vuosilta 150 eaa. - 179 kiinankielisessä kirjassa Jiuzhang suanshu, Yhdeksän lukua matemaattisesta taiteesta. Nykymuotoonsa menetelmän kehitti Isaac Newton, jonka muistiinpanot mm. yhtälöistä julkaistiin vuonna 1707 teoksessa Arithmetica Universalis. Lopulta, vasta 1950-luvulla menetelmä sai nykyisen nimensä aiheen historiaan liittyvien väärinkäsitysten myötä.

Gaussin eliminointimenetelmä perustuu lineaarisen yhtälöryhmän seuraaviin ominaisuuksiin:

• Yhtälöryhmän kahden yhtälön paikkaa voidaan vaihtaa
• Yhtälöryhmän yhtälö voidaan kertoa puolittain nollasta poikkeavalla vakiolla
• Yhtälöryhmän yhtälö voidaan lisätä yhtälöryhmän toiseen yhtälöön, kerrottuna nollasta poikkeavalla vakiolla

Suoritettaessa mikä tahansa edellä olevista operaatioista muodostetaan uusi, alkuperäisen kanssa ekvivalentti yhtälöryhmä. Toisin sanoen, alkuperäisen ja uuden yhtälöryhmän ratkaisujoukot ovat täsmälleen samat.

Ratkaistaessa yhtälöryhmää, operoidaan itse asiassa ainoastaan tuntemattomien kertoimilla ja vakioilla. Itse tuntemattomat ovat "paikanpitäjän" roolissa. Näin ollen, mistä tahansa yhtälöryhmästä voidaan muodostaa matriisi seuraavasti:

Yhtälöryhmää

${\displaystyle {\begin{cases}2x+y-z&=8\\-3x-y+2z&=-11\\-2x+y+2z&=-3\\\end{cases}}}$

vastaa matriisiesitys

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

jossa siis kolmessa vasemmanpuoleisimmassa sarakkeessa tuntemattomien kertoimet, rivin vastatessa yhtä yhtälöä, ja oikeanpuoleisessa sarakkeessa vakiot yhtälöittäin.

Itse Gaussin eliminointimenetelmä toimii seuraavasti: Annettu matriisi voidaan aina asettaa porrasmuotoon yhtälöryhmien operaatioita vastaavien alkeisrivitoimitusten avulla. Alkeisrivitoimituksella tarkoitetaan sitä, että

• Rivi kerrotaan jollain nollasta eroavalla vakiolla.
• Rivi kerrotaan jollain nollasta eroavalla vakiolla ja lisätään se johonkin toiseen riviin.
• Kaksi matriisin riviä vaihdetaan keskenään.

Alkeisrivitoimituksia yksi kerrallaan, äärellisen määrän suorittamalla päästään alkuperäisen matriisin kanssa riviekvivalenttiin, porrasmuotoiseen matriisiin.

Matriisi on porrasmuodossa, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa:

• Nollarivit (jos niitä on) ovat alimpina.
• Jokaisen nollasta eroavan rivin vasemmalta lukien ensimmäinen nollasta eroava alkio, ko. rivin johtava alkio = 1.
• Alemman rivin johtavan alkion sarake sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion sarakkeen oikealla puolella.

Suoritetaan Gaussin algoritmi ja päästään matriisiin:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&{\frac {1}{3}}&-{\frac {2}{3}}&{\frac {11}{3}}\\0&1&{\frac {2}{5}}&{\frac {13}{5}}\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

joka on siis haluttu, porrasmuotoinen matriisi.

Tästä saadaan takaisinsijoituksella:

${\displaystyle z=-1}$

${\displaystyle y+{\frac {2}{5}}z={\frac {13}{5}}\Longleftrightarrow y=3}$

${\displaystyle x+{\frac {1}{3}}y-{\frac {2}{3}}z={\frac {11}{3}}\Longleftrightarrow x=2}$

Saatiin siis yksikäsitteinen ratkaisu.

i=1j=1while (i ≤ m and j ≤ n) do  # Etsi johtava alkio sarakkeelta j, alkaen riviltä i:  max_val = A[i,j]  max_ind = i  for k=i+1 to m do    val = A[k,j]    if abs(val) > abs(max_val) then      max_val = val      max_ind = k    end_if  end_for  if max_val ≠ 0 then    vaihda rivit i ja max_ind    jaa rivi i luvulla max_val    for u = 1 to m do       if u ≠ i then          lisää -A[u,j] * rivi i riviin u       end_if    end_for    i = i + 1  end_if  j = j + 1end_while

• Esim. sähköverkot, liikennevirrat, tuotanto ja kulutus, väestönkasvu.

• Matriisin aste
• Rivi-, sarake- ja nolla-avaruuden kannat
• Matriisin determinantti
• Käänteismatriisin etsintä (Gauss-Jordanin eliminointimenetelmän avulla)

Yhtälöryhmien lähtöaineisto oikeassa elämässä ei läheskään aina ole absoluuttisentäsmällistä. Jos kerroinmatriisi on lähellä singulaarista, pienetkin epätarkkuudetsaattavat muuttaa ratkaisua olennaisesti.

Jakajiksi voi tulla hyvin suuria/pieniä lukuja, mikä voi muuttaa kertoimiensuuruusluokkaa paljonkin.

Mahdolliset liian suuret/pienet luvut tietokoneen käsiteltäväksi. Ongelma yleensävältettävissä oikealla skaalauksella.