Ευκλείδεια μετρική

Η ευκλείδεια μετρική είναι η συνάρτηση $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} \,$ που αντιστοιχεί σε δύο διανύσματα $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \,$ του $n-$ διάστατου διανυσματικού χώρου $\mathbb {R} ^{n}\,$ , $\mathbf {x} =\{x_{1},\dots ,x_{n}\},\mathbf {y} =\{y_{1},\dots ,y_{n}\}\,$ στον αριθμό

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}.

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη" (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , $n-$ διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις Επεξεργασία

Μία διάσταση Επεξεργασία

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία $P=(p_{x})\,$ και $Q=(q_{x})\,$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|

Δύο διαστάσεις Επεξεργασία

Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, $P=(p_{x},p_{y})\,$ και $Q=(q_{x},q_{y})\,$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.