গাউসের সূত্র

গাউসের সূত্রকে দুভাবে তড়িৎ ক্ষেত্র E এবং মোট আধানের মধ্যে সম্পর্ক দ্বারা তড়িৎসরণ ক্ষেত্র(electric displacement field) D এবং মুক্ত তড়িৎ আধানের দ্বারাপ্রকাশ করা হয়।

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q_{in}}{\varepsilon _{0}}}}$

যেখানে ΦE কোনো ভলিউম V এর একটি বদ্ধ পৃষ্ঠতল Sমধ্য দিয়ে তড়িৎ ফ্লাক্স, q_in হল S দ্বারা অধিকৃত মোট আধান এবং ε0 শূন্য মাধ্যমের তড়িৎভেদ্যতা .বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স ΦE একটি পৃষ্ঠতলে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমাকলন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

${\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

যেখানে E হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র, A হল ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector)

অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা গাউস এর সূত্র ডিফারেনশিয়াল ফর্মে বিকল্পরূপে লেখা যাবে:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

যেখানে ∇•E হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের অভিসারীতা এবং ρ মোট বৈদ্যুতিক আধান ঘনত্ব.

সংক্ষিপ্ত প্রমাণ

গাউসের সূত্রের সমাকলিত রূপ : ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ q আধানযুক্ত কোনো বদ্ধ পৃষ্ঠতল S এর জন্য . অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা, এই সমীকরণকে লেখা যায়: ${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$ q আধানযুক্ত কোনো ভলিউম V এর জন্য. ,আধান এবং আধান ঘনত্ব থেকে এই সমীকরণকে লেখা যায়: ${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} V}$ কোনো ভলিউম V জন্য সব জায়গায় integrands দুটি সমান হওয়া প্রয়োজনীয় (এবং যথেষ্ট). সুতরাং, এই সমীকরণকে লেখা যায়: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$ সুতরাং,অন্তরকলিত এবং সমাকলিত রূপদুটি তুল্য

ডাইইলেকট্রিকের জন্য এবং অন্যান্য বিভিন্ন প্রকার পরিবাহী ও অপরিবাহী সমস্ত পদার্থের জন্য এই সূত্র ব্যবহৃত হয়।

${\displaystyle \Phi _{D}=q_{\text{free}}\!}$

যেখানে ${\displaystyle \Phi _{D}\!}$ কোনো ভলিউম V এর একটি বদ্ধ পৃষ্ঠতল S এর মধ্য দিয়ে তড়িৎসরণ ক্ষেত্র D এর ফ্লাক্স, :${\displaystyle q_{\text{free}}\!}$ হল S দ্বারা অধিকৃত মোট আধান।অনূরূপে তড়িৎসরণ ক্ষেত্র D এর ফ্লাক্স ΦD একটি পৃষ্ঠতলে তড়িৎসরণ ক্ষেত্রের সমাকলন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

${\displaystyle \Phi _{D}=\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা গাউস এর সূত্র ডিফারেনশিয়াল ফর্মে বিকল্পরূপে লেখা যাবে:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}}$

যেখানে ∇•D হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের অভিসারীতা এবং ρ মুক্ত বৈদ্যুতিক আধান ঘনত্ব.

সমসত্ত্ব, isotropic(যে মাধ্যমে μ ও ε দিকনির্ভর নয়), nondispersive(যে মাধ্যমে তড়িৎভেদ্যতা তড়িতক্ষেত্রের কম্পাঙ্কের উপর নির্ভরশীল নয়), রৈখিক(Linear) পদার্থের মধ্যে, E এবং D মধ্যে একটি সরল সম্পর্ক আছে:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

যেখানে ε উপাদানের তড়িৎভেদ্যতা। এর থেকে লেখা যায়ঃ

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\text{free}}}{\epsilon }}}$

এবং

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\text{free}}}{\varepsilon }}}$

• ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ
• গাউসীয় তল
• কার্ল ফ্রিড্‌রিশ গাউস
• তড়িৎ ফ্লাক্স
• অভিসারী উপপাদ্য
• কুলম্বের সূত্র
• তড়িৎসরণ ক্ষেত্র
• গাউসের চুম্বকত্বের সূত্র
• গাউসের মহাকর্ষের সূত্র
• বিপরীত বর্গীয় সূত্র
• তড়িৎভেদ্যতা

^ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc.

• section on Gauss's law in an online textbook ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৭ মে ২০১০ তারিখে
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.