Рад Ларана
Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях над полем камплексных лікаў:
дзе
Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:
- — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
- — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.
Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.
Уласцівасці
правіць- Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца
- Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці
рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
- Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
- На любым кампактным падмностве
рад збягаецца раўнамерна;
- Сума рада Ларана ў
ёсць аналітычная функцыя
;
- Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у
пачленна;
- Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у
, то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
- Каэфіцыенты
рада Ларана вызначаюцца праз яго суму
формуламі
- дзе
,
,
— любая акружнасць з цэнтрам a, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.
Тэарэма Ларана
правіцьПрымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:
Любую адназначную аналітычную функцыю у колцы
можна прадставіць у
збежным радам Ларана.
У тым ліку, у праколатым наваколлі
ізаляванага асаблівага пункта адназначная аналітычная функцыя
прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.
Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:
- Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
- Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
- Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.
Літаратура
правіць- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.