Как запомнить точки на единичной окружности

Единичная окружность применяется не только в тригонометрии и геометрии, но и в других разделах математики. На первый взгляд запомнить все особые точки на ней довольно непросто, но если вы поймете основной принцип, то сможете легко пользоваться единичной окружностью.

Часть 1

Часть 1 из 2:

Углы в радианах

Загрузить PDF

Возьмите большой лист бумаги и линейку и начертите вертикальную и горизонтальную линии. Точка пересечения этих прямых должна лежать примерно в центре листа. Это будут оси x и y.
Возьмите циркуль, поставьте его иглу в точку пересечения прямых и проведите большую окружность.
3
Ознакомьтесь с понятием радиана. Радиан является единицей измерения углов. Согласно определению, угол величиной один радиан отсекает на окружности единичного радиуса дугу единичной длины. В данном разделе точки будут обозначаться соответствующими значениями в радианах. Если вы запомните соотношение между длиной окружности и ее радиусом, то сможете легко определять эти значения по единичной окружности, даже если забыли их.
- При измерении углов по единичной окружности в качестве начальной точки всегда берется точка с координатами (0; 1). Для наглядности можно представить единичную окружность в виде розы ветров, тогда точка отсчета будет соответствовать восточному направлению.
Длина окружности равна 2πr, где r — ее радиус. Поскольку радиус единичной окружности равен 1, ее длина составляет 2π. Отсюда можно найти значение в радианах для каждой точки окружности: достаточно взять 2π и поделить на долю окружности, которая соответствует данной точке. Это намного легче, чем пытаться выучить значения в каждой точке на единичной окружности.
5
Отметьте четыре точки на осях x и y. Эти точки разделят окружность на четыре квадранта (четверти):
- "восток" является точкой отсчета, поэтому ему соответствует 0 радианов;
- "север" = ¼ окружности = ^2π/₄ = ^π/₂ радианов;
- "запад" = половине окружности = ^2π/₂ = π радианов;
- "юг" = три четверти окружности = 2π * ¾ = ^3π/₂ радианов;
- после обхода всей окружности мы возвращаемся в начальную точку, поэтому наряду с 0 ей можно присвоить значение 2π.
6
Поделите круг на восемь частей. Проведите прямые посередине каждого квадранта, так чтобы они делили их пополам. Для точек пересечения прямых с окружностью получаем следующие значения в радианах:
- ^π/₄;
- ^3π/₄;
- ^5π/₄;
- ^7π/₄;
- (точки π/2, π, 3π/2 и 2π уже обозначены).
7
Поделите круг на шесть частей. Проведите дополнительные линии, которые разделят круг на шесть частей. Можно использовать для этого транспортир: начните от положительного направления оси x и откладывайте углы по 60 градусов. С помощью описанного выше метода легко определить, что шестая часть окружности составляет ^2π/₆ = ^π/₃ радианов. Теперь мы можем отметить точки пересечения новых прямых с окружностью (по одной в каждом квадранте):
- ^π/₃;
- ^2π/₃;
- ^4π/₃;
- ^5π/₃;
- (значения π и 2π уже отмечены).
8
Проведите линии, которые делят окружность на 12 частей. Осталось разделить единичную окружность на 12 равных частей. Из этих точек лишь четыре не были отмечены ранее:
- ^π/₆;
- ^5π/₆;
- ^7π/₆;
- ^11π/₆.
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 2:

Координаты x-y (косинус, синус)

Загрузить PDF

1
Ознакомьтесь с понятиями синуса и косинуса. Единичная окружность прекрасно подходит для работы с прямоугольными треугольниками. Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ — величина угла.
- Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
- Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус — прилежащего катета к гипотенузе).
2
Запишите координаты четырех точек на окружности. "Единичная окружность" — это такая окружность, радиус которой равен единице. Используйте это, чтобы определить координаты x и y в четырех точках пересечения координатных осей с окружностью. Выше мы обозначили эти точки для наглядности "востоком", "севером", "западом" и "югом", хотя они не имеют устоявшихся названий.
- "Восток" соответствует точке с координатами (1; 0).
- "Север" соответствует точке с координатами (0; 1).
- "Запад" соответствует точке с координатами (-1; 0).
- "Юг" соответствует точке с координатами (0; -1).
- Это аналогично обычному графику, поэтому нет необходимости запоминать эти значения, достаточно помнить основной принцип.
3
Запомните координаты точек в первом квадранте. Первый квадрант расположен в верхней правой части круга, где координаты x и y принимают положительные значения. Это единственные координаты, которые необходимо запомнить:
- точка ^π/₆ имеет координаты ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}$ );
- точка ^π/₄ имеет координаты ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ );
- точка ^π/₃ имеет координаты ( ${\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ );
- обратите внимание, что числитель принимает лишь три значения. Если перемещаться в положительном направлении (слева направо по оси x и снизу вверх по оси y), числитель принимает значения 1 → √2 → √3.
4
Проведите прямые линии и определите координаты точек их пересечения с окружностью. Если вы проведете от точек одного квадранта прямые горизонтальные и вертикальные линии, вторые точки пересечения этих линий с окружностью будут иметь координаты x и y с теми же абсолютными значениями, но другими знаками. Иными словами, можно провести горизонтальные и вертикальные линии от точек первого квадранта и подписать точки пересечения с окружностью теми же координатами, но при этом оставить слева место для правильного знака ("+" или "-").
- Например, можно провести горизонтальную линию между точками ^π/₃ и ^2π/₃. Поскольку первая точка имеет координаты ( ${\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ), координаты второй точки будут (? ${\frac {1}{2}},?{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ), где вместо знака "+" или "-" поставлен знак вопроса.
- Используйте наиболее простой способ: обратите внимание на знаменатели координат точки в радианах. Все точки со знаменателем 3 имеют одинаковые абсолютные значения координат. То же самое относится к точкам со знаменателями 4 и 6.
5
Для определения знака координат используйте правила симметрии. Существует несколько способов определить, где следует поставить знак "-":
- вспомните основные правила для обычных графиков. Ось x отрицательна слева и положительна справа. Ось y отрицательна снизу и положительна сверху;
- начните с первого квадранта и проведите линии к другим точкам. Если линия пересечет ось y, координата x изменит свой знак. Если линия пересечет ось x, изменится знак у координаты y;
- запомните, что в первом квадранте положительны все функции, во втором квадранте положителен только синус, в третьем квадранте положителен лишь тангенс, и в четвертом квадранте положителен только косинус;
- какой бы метод вы ни использовали, в первом квадранте должно получиться (+,+), во втором (-,+), в третьем (-,-) и в четвертом (+,-).
6
Проверьте, не ошиблись ли вы. Ниже приведен полный список координат "особых" точек (кроме четырех точек на координатных осях), если двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Помните, что для определения всех этих значений достаточно запомнить координаты точек лишь в первом квадранте:
- первый квадрант: ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( ${\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ );
- второй квадрант: ( $-{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}$ );
- третий квадрант: ( $-{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}$ ); ( $-{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( $-{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ );
- четвертый квадрант: ( ${\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ); ( ${\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}$ ).
Реклама

Советы

Если вам необходимо использовать единичную окружность во время контрольной работы или экзамена, нарисуйте ее на черновике.
После некоторой практики вы сможете быстро строить единичную окружность. Со временем вы сможете рисовать лишь оси x и y или вовсе обходиться без диаграммы.