Como Adicionar e Subtrair Raízes Quadradas

Para adicionar ou subtrair raízes quadradas, você vai precisar combinar as raízes que tenham o mesmo termo do radial. Isso significa que você pode adicionar e subtrair 2√3 e 4√3, mas não 2√3 e 2√5. Existem muitos casos em que é possível realmente simplificar o número dentro do radical para que eles possam ser combinados como termos e então adicionar e remover raízes quadradas.

Parte 1

Parte 1 de 2:

Conhecendo os fundamentos

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Simplifique qualquer termo dentro do radical se possível. Para fazer isso, tente fatorar os termos para encontrar pelo menos um termo que seja um quadrado perfeito, como 25 (5 x 5) ou 9 (3 x 3). Em seguida, você pode pegar a raiz quadrada do quadrado perfeito e escrevê-la fora do radical, deixando o fator restante dentro dele. Neste exemplo, usaremos o seguinte problema: 6√50 - 2√8 + 5√12. Os números fora do radical são os coeficientes e os números dentro são os radicandos. Veja como simplificar cada termo: ^{[1]XFonte de pesquisa}
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Nesse exemplo, você fatora "50" em "25 x 2" e tira o "5" da raiz perfeita, "25", e o coloca fora do radical, com o "2" restante dentro dele. Em seguida, você multiplica "5" por "6", o número fora do radical, para obter "30" como o novo coeficiente.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Nesse exemplo, você fatora "8" em "4 x 2"e tira o "2" da raiz perfeita, "4", e o coloca fora do radical, com o "2" dentro dele. Em seguida, você multiplica "2" por "2", o número fora do radical, para obter "4" como o novo coeficiente.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Nesse exemplo, você fatora "12" em "4 x 3"e tira o "2" da raiz perfeita, "4", e o coloca fora do radical, com o fator "3" dentro dele. Em seguida, você multiplica "2" por "5", o número fora do radical, para obter "10" como o novo coeficiente.
Após simplificar os radicandos dos termos, a equação vai ficar da seguinte forma: 30√2 - 4√2 + 10√3. Como somente é possível adicionar ou subtrair termos iguais, circule os termos que possuem o mesmo radical. No exemplo utilizado, os termos são 30√2 e 4√2. Pense nesse procedimento como sendo parecido com a adição ou subtração de frações, onde somente é possível fazer isso com os termos de mesmo denominador.
Se estiver trabalhando com uma equação longa em que existam múltiplos pares com radicandos iguais, você pode circular o primeiro par, sublinhar o segundo e colocar um asterisco no terceiro, e assim por diante. Alinhe os termos para facilitar a visualização da solução.
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Adicione ou subtraia o os coeficientes dos termos com radicandos iguais. Agora, tudo o que você precisa fazer é adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos com radicandos iguais e deixar quaisquer termos adicionais como parte da equação. Não combine os radicandos. A ideia é identificar quantos tipos de radicais existem no total. Os termos diferentes podem continuar os mesmos. Faça o seguinte:
- 30√2 - 4√2 + 10√3 =
- (30 - 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3
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Parte 2

Parte 2 de 2:

Praticando mais

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Exemplo 1. Neste exemplo, adicione a seguinte raiz quadrada: √(45) + 4√5. Faça o seguinte:
- Simplifique √(45). Primeiro, fatore para obter √(9 x 5).
- Em seguida, tire o "3" da raiz quadrada perfeita, "9", e transforme-o em coeficiente do radical. Então, √(45) = 3√5.
- Agora, basta adicionar os coeficientes dos dois termos com os radicandos iguais para conseguir a resposta. 3√5 + 4√5 = 7√5
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Exemplo 2. Neste exemplo, o problema é o seguinte: 6√(40) - 3√(10) + √5. Faça o seguinte:
- Simplifique 6√(40). Primeiramente, fatore o "40" para obter "4 x 10", resultando em 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Em seguida, tire o "2" da raiz quadrada perfeita, "3", e multiplique-o pelo coeficiente atual. Agora, você tem 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Multiplique os dois coeficientes para obter 12√10.
- Agora, o problema é o seguinte: 12√10 - 3√(10) + √5. Como os dois primeiros termos têm os mesmos radicandos, você pode subtrair o segundo termo do primeiro e deixar o terceiro como está.
- Agora, o problema mudou para (12-3)√10 + √5, que pode ser simplificado para 9√10 + √5.
Neste exemplo, o problema é o seguinte: 9√5 -2√3 - 4√5. Aqui, nenhum dos radicais têm fatores que sejam quadrados perfeitos, então a simplificação não é possível. O primeiro e o terceiro termos são radicais iguais, então seus coeficientes já podem ser combinados (9-4). O radicando não sofre alteração. Os termos restantes não são iguais, então o problema pode ser simplificado para 5√5 - 2√3.
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Exemplo 4. Digamos que o problema seja o seguinte: √9 + √4 - 3√2. Faça o seguinte:
- Como √9 é o mesmo que √(3 x 3), você pode simplificar √9 para 3.
- Como √4 é o mesmo que √(2 x 2), você pode simplificar √4 para 2.
- Agora, você pode simplesmente adicionar 3 + 2 para obter 5.
- Como 5 e 3√2 não são termos iguais, não há mais nada a ser feito. A resposta final é 5 - 3√2.
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Exemplo 5. Vamos tentar adicionar e subtrair raízes quadradas que são parte de uma fração. Agora, assim como em uma fração normal, você somente pode adicionar ou subtrair frações que possuem o mesmo numerador ou denominador. Digamos que o problema seja o seguinte: (√2)/4 + (√2)/2. Faça o seguinte:
- Faça com que os termos tenham o mesmo denominador. O menor denominador comum, ou denominador divisível por ambos os denominadores, "4" e "2," é o "4".
- Assim, para fazer o segundo termo, (√2)/2, ter o denominador 4, você vai precisar multiplicar seu numerador e denominador por 2/2. (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
- Adicione os numeradores das frações e mantenha os denominadores iguais. Faça o mesmo que faria ao adicionar frações. (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4.
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Dicas

Sempre simplifique quaisquer radicais que tenham fatores de raiz quadrada perfeita antes de começar a identificar e combinar radicandos iguais.

Avisos

Nunca combine radicais diferentes.
Nunca combine um número inteiro com radical de modo que: 3 + (2x)^1/2 não pode ser simplificado.
- Nota: dizer "metade da potência de (2x)" = (2x)^1/2 é outra forma de dizer "raiz quadrada de (2x)".