Comment représenter graphiquement une fonction

La représentation graphique d’une fonction est finalement assez simple. Le seul point délicat est de bien comprendre l’équation et son domaine de définition. Bien sûr, il est possible d’utiliser une calculette graphique, mais la représentation à la main a aussi ses avantages : elle permet de mieux comprendre les équations et les inéquations qu’elles soient linéaires, du second degré ou contenant une valeur absolue.

Méthode 1

Méthode 1 sur 6:

Représenter graphiquement une fonction linéaire

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Présentez la fonction sous la forme $y=ax+b$ . Ce sera peut-être déjà fait. Pour représenter graphiquement une fonction de ce type, vous devez faire quelques petits calculs en donnant à $x$ $How.com.vn Français: x$ quelques valeurs.
- Avec cette formule, vous allez devoir déterminer au moins deux points, dont les coordonnées (x, y) satisfont l’équation.
- Dans cette formule, $a$ est le coefficient directeur, aussi appelé « pente ». La pente mesure le déplacement vertical d’une fonction par rapport à son déplacement horizontal.
- Dans cette même formule, $b$ est l’ordonnée à l’origine. Si vous faites $x=0$ , vous obtenez le point d’intersection de la courbe avec l’axe des « y ».
Le graphe d’une fonction linéaire est très simple à réaliser. Commencez par tracer un repère orthonormé, soit deux axes perpendiculaires, orientés et également gradués.
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Déterminez graphiquement l’intersection avec l’axe des « y ». Prenons comme exemple la fonction $y=2x-1$ $How.com.vn Français: y=2x-1$ . Conformément à ce qui a été écrit plus haut, $-1$ $How.com.vn Français: -1$ est l’ordonnée à l’origine.
- L’intersection avec l’axe des « y » s’obtient toujours en faisant $x=0$ , si bien que le point d’intersection de la courbe avec l’axe des « y » est le point de coordonnées (0, -1).
- Placez ce point remarquable sur votre graphique, il vous servira à tracer le graphe.
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Déterminez la pente de la courbe. Reprenons la même fonction $y=2x-1$ $How.com.vn Français: y=2x-1$ , la pente est le coefficient (directeur) de $x$ $How.com.vn Français: x$ , ici 2. Une pente étant un rapport, celui de la hauteur sur la longueur, elle se présente donc sous la forme d’une fraction. Ici, nous avons écrit que la pente était 2, soit ${\frac {2}{1}}$ $How.com.vn Français: {\frac {2}{1}}$ .
- Pour tracer le graphe, partez de l’ordonnée à l’origine. Chaque fois que vous monterez d’autant d’unités que le numérateur le précise, il faudra vous décaler en largeur d’autant d’unités que le dénominateur l’indique.
- Dans notre exemple, si vous démarrez à -1, chaque fois que vous monterez de 2 unités, vous devrez vous décaler d’une unité vers la droite : vous obtenez un nouveau point de la droite.
- Un déplacement positif indique que vous devez vous déplacer vers le haut, un négatif, vers le bas. Dans la même veine, si le déplacement horizontal est positif, vous vous déplacerez vers la droite et vers la gauche, s’il est négatif.
- Vous pouvez placer autant de points que vous voulez, mais sachez que deux seuls points suffisent à tracer la droite.
Dès lors que vous avez deux points, l’ordonnée à l’origine et un autre point, il vous suffit de les relier à la règle. Vous devez faire dépasser cette droite de chaque côté pour montrer que la droite continue dans les deux sens.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 6:

Représenter une inéquation du premier degré à une inconnue

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Comme dans ce cas, vous n’avez pas d’ordonnées, vous n’avez pas besoin d’un repère orthonormé, un simple axe horizontal gradué suffit.
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Tracez le graphe de la fonction. C’est simple, car le graphe est une partie de l’axe des « x », tous les points ont une ordonnée égale à 0. Prenons comme exemple l’inéquation $x<1$ $How.com.vn Français: x<1$ . Pour commencer, vous devez repérer la valeur 1 sur l’axe.
- Si vous avez affaire à une inégalité stricte ( $>$ ou $<$ ), mettez un crochet dirigé vers l’extérieur (crochet ouvert).
- Si vous avez affaire à une inégalité large ( $\leq$ ou $\geq$ ), mettez un crochet dirigé vers l’intérieur (crochet fermé).
Partez du point de référence, placez le crochet dans le bon sens, puis tracez dans une autre couleur la courbe. Si le symbole est $>$ ou $\geq$ , votre courbe partira vers la droite, sinon vers la gauche. Tracez une flèche au bout de votre courbe pour montrer que c’est une ligne infinie.
Prenez n’importe quel point dont l’abscisse satisfait l’équation de la fonction. S’il se trouve sur la courbe, alors vous avez tout juste.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 6:

Représenter graphiquement une inéquation linéaire

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Utilisez la forme affine de l’inéquation. Pour pouvoir représenter une inéquation linéaire, l’inéquation doit être mise sous la forme d’une fonction affine. Ce qui change, c’est qu’au lieu d’avoir une équation avec le symbole « = », nous aurons un des quatre symboles suivants : $<,>,\leq$ $How.com.vn Français: <,>,\leq$ ou $\geq$ $How.com.vn Français: \geq$ .
- Une fonction affine s’écrit sous la forme : $y=ax+b$ , formule dans laquelle $a$ est la pente et $b$ , l’ordonnée à l’origine.
- Résoudre graphiquement une inéquation revient à mettre en évidence un ensemble de solutions.
Prenons comme exemple l’inéquation $y>{\frac {1}{2}}x+2$ . Tracez d’abord la droite d’équation $y={\frac {1}{2}}x+2$ en trouvant deux points. Faites x = 0 et vous trouvez que l’ordonnée à l’origine est 2. La pente étant de 0,5, cela signifie que, pour placer un nouveau point du graphe, vous devez vous déplacer d’une unité vers le haut quand vous déplacez de deux unités vers la droite.
Avant de tracer une quelconque partie de la droite, vous devez regarder quel est le symbole de l’inéquation. Si vous avez une inéquation stricte ( $<$ ou $>$ ), tracez la droite en pointillés, Si vous avez une inéquation large ( $\leq$ ou $\geq$ ), tracez-la en trait plein.
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Hachurez une partie du graphe. Une inéquation admet souvent un ensemble de solutions, ce qui graphiquement correspond à une surface du graphe. Il est de convention de hachurer la surface regroupant les points satisfaisant l’inéquation, cette surface étant au-dessus ou au-dessous de la droite.
- Choisissez un point au hasard. Pour faciliter les calculs, on prend le point (0,0). Repérez déjà la position de ce point par rapport à la droite.
- Placez ces coordonnées dans l’inéquation. Dans notre cas, cela donne : $0>1/2(0)+2$ , soit $0>2$ , ce qui est faux.
- Si le point choisi est au-dessus de la droite et si l’inéquation est vérifiée, alors vous devrez hachurer toute la zone au-dessus de la droite. Par contre, si l’inéquation n’est pas vérifiée, c’est la zone en dessous de la droite qu’il faudra hachurer. Si le point choisi est au-dessous de la droite et si l’inéquation est vérifiée, alors vous devrez hachurer toute la zone en dessous de la droite. Par contre, si l’inéquation n’est pas vérifiée, c’est la zone au-dessus dessous de la droite qu’il faudra hachurer.
- Dans notre exemple, le point origine (0,0) est en dessous de la droite et l’inéquation n’est pas vérifiée : l’ensemble des solutions est donc l’ensemble des points au-dessus de la droite, les points de cette droite n’étant pas compris ^{[1]XSource de recherche}.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 6:

Représenter graphiquement une fonction du second degré

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Étudiez de près votre fonction. Dans une équation du second degré, l’un des termes est forcément au carré. Le plus souvent, une équation de ce type se présente sous la forme suivante : $y=ax^{2}+bx+c$ $How.com.vn Français: y=ax^{2}+bx+c$ , $b$ $How.com.vn Français: b$ pouvant être nul.
- La représentation graphique d’une équation du second degré est une parabole (en forme de « U ») plus ou moins évasée.
- Pour pouvoir tracer une parabole, il vous faut au minimum trois points, le sommet, un point et son symétrique par rapport à l’axe de la parabole.
Prenons comme exemple la fonction $y=x^{2}+2x+1$ : on a donc $a=1$ , $b=2$ et $c=1$ . Cette dernière valeur est une constante et non un coefficient comme ce peut être le cas dans les autres termes qui, eux, contiennent l’inconnue. Quand il n’y a aucun coefficient devant l’inconnue, cela signifie simplement que ce dernier est 1 ( $x=1x$ ).
Ce point, par lequel passe l’axe de symétrie de la courbe, a pour abscisse ${\frac {-b}{2a}}$ . Dans notre exemple, l’abscisse du sommet est donc : ${\frac {-2}{2\times 1}}={\frac {-2}{2}}=-1$ .
Pour l’instant, vous n’avez que l’abscisse du sommet (-1) et il n’est pas possible pour lors de tracer la parabole sans, au préalable, faire un tableau de valeurs avec au moins deux autres points.
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Faites un tableau à deux colonnes et trois lignes.
- Placez l’abscisse du sommet au milieu de la colonne des abscisses.
- Choisissez deux points dont les abscisses sont à égale distance de celle du sommet. Ici, nous avons un sommet dont l’abscisse est -1, nous prendrons les abscisses -3 et 1, soit un écart de ± 2 (-4 et 2 auraient aussi bien fait l’affaire).
- Prenez n’importe quelles autres abscisses aux deux conditions qu’elles soient des entiers et de préférence, à égale distance de celle du sommet.
- Pour avoir une parabole plus juste, il est mieux de prendre cinq points (dont le sommet). Pour cela, vous ferez un tableau à cinq lignes, le sommet étant toujours au milieu.
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Remplissez le reste du tableau. Vous allez devoir calculer les images de ces abscisses (soit les valeurs « y »). Pour cela, remplacez x dans l’équation de la fonction par ces trois valeurs et faites les calculs.
- Reprenons notre exemple. Nous avons décidé de prendre un point, dont l’abscisse est -3. Dans l’équation $y=x^{2}+2x+1$ , nous remplaçons x par -3, ce qui donne : $y=-3^{2}+2(-3)+1=9-6+1=4$ . L’ordonnée du point d’abscisse -3 est 4.
- Placez cette ordonnée dans la seconde colonne du tableau, sur la même ligne que l’abscisse.
- Sans faire d’erreur, faites les calculs pour tous les points choisis (trois ou cinq).
Vous avez obtenu trois points, il suffit de les placer dans un repère orthonormé. Il ne vous reste plus qu’à les relier dans l’ordre et vous aurez votre parabole.
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Méthode 5

Méthode 5 sur 6:

Représenter graphiquement une inéquation du second degré

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Une inéquation du second degré ressemble étrangement à une équation du second degré, à la différence près que le symbole est > ou < dans le premier cas et = , dans le second. Une inéquation du second degré se présente donc sous la forme : $y<ax^{2}+bx+c$ . Comme dans la méthode précédente, vous allez devoir trouver trois points (dont le sommet) qui se trouvent sur la parabole.
Placez trois points de la courbe, mais comme il s’agit ici d’une inéquation, le tracé de la parabole doit se faire selon une certaine règle.
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Tracez la courbe. Comme il s’agit ici d’une inéquation, il conviendra de savoir si la courbe elle-même fait ou non, en fonction du symbole d’inégalité, partie de l’ensemble des réponses.
- Si l’inéquation est stricte avec les symboles $<$ (strictement inférieur à) ou $>$ (strictement supérieur à), vous tracerez une courbe en pointillés.
- Si l’inéquation est large avec les symboles $\leq$ (inférieur ou égal à) ou $\geq$ (supérieur ou égal à), vous tracerez une courbe pleine.
- Placez des flèches aux extrémités des branches de la parabole pour montrer qu’elle continue au-delà de votre graphique.
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Hachurez l’ensemble des réponses. Ce dernier regroupe tous les points qui satisfont l’inéquation. La parabole délimite deux espaces, l’un à l’intérieur, l’autre à l’extérieur de la courbe. Pour savoir lequel est l’ensemble des réponses, il suffit de prendre un point au hasard (on prend souvent le point (0,0)) et de bien regarder où il se trouve par rapport à la courbe.
- Faites l’application numérique avec le point origine. Prenons comme exemple l’inéquation $y>x^{2}-4x-1$ et testons le point origine (0,0). À la suite du remplacement de x et y, on obtient : $0>0^{2}-4(0)-1$ , soit $0>-1$ , ce qui est vrai.
- Si l’inégalité est vérifiée et que le point origine (ou tout point que vous auriez choisi) se trouve à l’intérieur de la parabole, hachurez cette partie, sinon hachurez l’extérieur.
- Si l’inégalité est vérifiée et que le point origine (ou tout point que vous auriez choisi) se trouve à l’extérieur de la parabole, hachurez cette partie, sinon hachurez l’intérieur ^{[2]XSource de recherche}.
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Méthode 6

Méthode 6 sur 6:

Représenter une fonction contenant une valeur absolue

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Une fonction contenant une valeur absolue peut être très simple, comme $y=|x|$ , mais le plus souvent, la fonction est plus compliquée avec des coefficients et des constantes.
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Mettez la valeur absolue égale à 0. La première étape consiste à mettre la quantité de la valeur absolue égale à 0. Prenons la fonction $y=|x-2|+1$ $How.com.vn Français: y=|x-2|+1$ , mettez la seule valeur absolue égale à 0 : $|x-2|=0$ $How.com.vn Français: |x-2|=0$ . Cette équation n’admet qu’une seule solution : 2.
- La valeur absolue d’une valeur est sa distance à 0, quel que soit son signe. C’est ainsi que|2|= 2, tout comme|-2|= 2, ce qui peut s’écrire en un seul jet :|2|=|-2|= 2. Comme vous le voyez, ces deux valeurs, -2 et 2, sont à égale distance de 0.
- La quantité en valeur absolue peut être simplement x. En cas, la valeur pivot serait 0. Ainsi, avec la fonction $y=|x|+3$ , $y=|0|+3$ amènerait $y=0+3=3$ .
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Construisez un tableau de valeurs. Vous en tracerez un avec trois lignes et deux colonnes.
- Dans le tableau, placez la valeur d’annulation de la valeur absolue dans la première colonne et sur la ligne du milieu.
- Choisissez deux autres abscisses. Ce seront celles de deux points du graphe et vous les choisirez à deux ou trois unités de distance de la valeur d’annulation. Dans notre exemple, vous avez 2 en valeur d’annulation, choisissez 0 (= 2 - 2) et 4 (= 2 + 2).
- Choisissez les abscisses que vous voulez. Le fait de les prendre à égale distance permet de bien mettre en évidence la symétrie du graphe. Ne choisissez que des entiers.
Face aux trois abscisses, vous devez inscrire les trois ordonnées qui correspondent. Pour les trouver, remplacez dans l’équation de la fonction x par les abscisses choisies. Le résultat est mis sur la même ligne.
Il vous suffit d’avoir trois points, mais si vous en avez plus, cela fonctionne aussi. Une fonction avec une valeur absolue a toujours un graphe en forme de « V ». Placez des flèches aux extrémités des droites pour montrer qu’elles se prolongent à l’infini ^{[3]XSource de recherche}.
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Conseils

Pour tracer graphiquement une équation, vous pouvez prendre soit du papier millimétré soit une feuille à petits carreaux.
Faites vérifier vos courbes par un camarade ou votre professeur de mathématiques.